descargador de youtube “(2^ln x)_x Antiderivative Example”

Estaba revisando los foros de discusión en la página de Facebook de Khan Academy, cuando Bud Denny colocó este problema pidiendo que fuera resuelto. Y al parecer es un problema de interés general.

El siguiente video le informará sobre “(2^ln x)_x Antiderivative Example”. Puede usar el descargador de YouTube para descargar el video.

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(2^ln x)_x Antiderivative Example

Es la integral indefinida de 2 elevado al logaritmo natural de x entre, todo entre x, dx. Además en el panel de mensajes, Abhi Khanna colocó una solución, y una que es correcta, pero como creo que esto es de interés general, haré un rápido video al respecto. Entonces lo primero que hay que hacer cuando veamos una integral de este tipo, es que diga: “muy bien, tengo este logaritmo natural de x en el numerador, ?por dónde debo empezar?” Lo primero que debería venir a la mente, es que esto es equivalente a la integral de uno entre x por 2 elevado al logaritmo de x, dx Entonces tenemos esta expresión, si bien es parte de nuestra función original, y conocemos su derivada, ?correcto? Sabemos que la derivada, la voy a escribir aqui, sabemos que la derivada con respecto a x del logaritmo natural de x es igual a 1/x.

Así que tenemos una expresión, y tenemos su derivada, la cual nos indica que podemos usarla como sustituto. A veces lo podemos hacer en nuestra mente, pero este problema, aun no es algo trivial que resolvamos en nuestra mente. Así que hagamos la sustitución. Sustituyamos esta parte de aquí con una “u”.

Así que hagamos eso. Así que definimos u, y no tiene que ser forzosamente u, sólo es una convensión, es llamado “u sustitución” pudo haber sido “s sustitución” si así lo quisieramos. Digamos entonces que u es igual al logaritmo natural de x, y que du dx, la derivada de u con respecto a x, que por supuesto es igual a 1/x. O, sólo el diferencial du, si tan sólo multiplicamos ambos lados con dx sería igual a 1 sobre x dx.

Así que prosigamos con la sustitución. Esta es nuestra integral. Así que esto sería equivalente a la integral indefinida, o la “antiderivada”, de 2 elevado a la u, así que 2 elevado a u, por 1/x dx. ?Y qué es 1/x dx? Simplemente du.

Así que este término por aquel término es nuestra du. Permitanme hacerlo con otro color. 1/x por dx es igual a du. Esto es igual a esto que tenemos aquí.

Bien, esto todavía no luce como una integral sencilla, sin embargo se ha simplificado lo suficiente. Para resolverla, sabemos , que cuando veamos la variable que estamos integrando en el exponente, sabemos, que no tenemos una regla sencilla para exponentes en este caso. Lo único que nos es familiar, en donde tenemos nuestra x o una variable que estemos integrando con un exponente, es el caso de e elevado a la x. Conocemos también que la integral de e elevado a la x, dx, es igual a e elevado a la x más c.

Así que si de algún modo pudieramos transformarle en una variación de e a la x, talvez, o e por la u, talvez pudieramos hacer esta integral un poco más manejable. Así que veamos. ?Como podemos redefinir esto que tenemos aquí? Bueno, 2, 2 es igual a que? 2 es lo mismo que e elevado al logaritmo natural de 2, ?correcto? El logaritmo natural de 2 es la potencia a la que se tiene que elevar e para llegar a 2.

Así que si elevamos e a esa potencia, estamos, en camino de obtener 2. Esta es de hecho la definición, del logaritmo natural. Si elevamos e al logaritmo natural de 2, vamos a obtener 2.

Así que vamos a reescribir esto, utilizando este… Creo que pudieramos llamar a esto.

o . no es que lo quiera llamar como tal una sustitución. Es sólo una forma diferente de escribir el número 2. Entonces esto será igual a, en vez de escribir el número 2, puedo escribir e elevado al logaritmo natural de 2.

Y todo esto elevado a u du. Y entonces ?a qué es igual esto? Bueno, si elevamos algo a un exponente, y de nuevo a otro exponente, esto es lo mismo como tomar mi base elevado al producto de esos exponentes. ASí que esto es igual, dejenme cambiar de colores, esto es igual a la integral de e, elevado a la u, e a la, dejenme escribir por aquí.

e al logaritmo natural de 2 multiplicado por u. Sólo estoy multiplicando estos dos exponentes. Elevo una base a un exponente y luego de nuevo, sabemos por nuestras reglas de exponentes, que es tan sólo el producto de ambos exponentes. du.

Ahora, esto es tan sólo un factor constante, aquí. Esto pudiera ser, esto pudiera ser cualquier número. Pudieramos usar una calculadora para determinar que es esto. Podemos igualarlo a a.

Pero ya sabemos que en genera esta integral, es bastante directa, una vez que la colocamos en esta forma. La antiderivada de e a la au, du, es tan sólo 1 sobre a e a la au. Esto viene definido aquí arriba, y por supuesto más c y utilizamos la regla de al cadena.

Si tomamos la derivada de esto, tomamos la derivada de adentro, que tan sólo va a ser a. Multiplicamos eso por 1/a, se cancela y nos queda tan sólo e elevado a au. Así que esto definitivamente funcionará.

Así que la antiderivada de esto de aqui va a ser igual a 1 sobre nuestra a, va a ser igual a 1 sobre nuestra constante 1 sobre el logaritmo natural de 2 multiplicado por toda la expresión e.e. Y aquí voy a hacer algo.

Esto es tan sólo un número por u, así que lo puedo escribir como u veces cualquier número. Y sólo lo estoy expresando así de forma que nos pueda ayudar a simplificarlo un poco más. Así que es e elevado a la u por el logaritmo natural de 2, ?correcto? Todo lo que hice, es que invertí el orden. Esto pudo ser escrito como e elevado al logaritmo natrual de 2 por u.

Si entonces a, a por u es lo mismo que a veces u. Más C. Así que está es nuestra respuesta, pero tenemos que de cierta forma sustituir de vuelta antes de sentirnos satisfechos con haber antiderivado con respecto a x.

Pero antes de que haga esto, veamos si podemos simplificarlo aun más. Que sucede, si tengo, a partir de las propiedades del logaritmo natural, o logaritmos, a multiplicado por el logaritmo natural de b. Sabemos que esto es lo mismo al logaritmo natural de b elevado a la a.

Dibujaré una linea aquí. ?Correcto? Entonces esto convierte el exponente de lo que sea en logaritmo natural del mismo. Así que u, dejenme lo escribo aquí, u por el logaritmo natural de 2, es lo mismo que el logaritmo natural de 2 por u. Así que podemos reescribir nuestra antiderivada igual a 1 sobre el logaritmo natural de 2, esta parte de aquí, por e elevado, esto puede ser reescrito basado en esta propiedad de los logartimos, como el logaritmo natural de 2 elevado a u, y por supuesto todavía tenemos que sumarle C aquí.

Ahora, ?a qué es igual e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u? El logaritmo natural de 2 elevado a u es la potencia a la que debemos elevar e para obtener 2 elevado a la u, ?correcto? ?Por definición! Así que si elevamos e a esa potencia, ?qué es lo que obtendremos? Vamos a obtener 2 elevado a la u. Así que esto va a ser igual a 1 sobre el logaritmo natural de 2. Esto se simplifica tan sólo como 2 elevado a la u.

Lo dibujé aquí. El logaritmo natural a, lo puedo escribir en terminos generales, lo pondré por aquí. Pero puedo escribir en general para cualquier número, que a es igual a e elevado al logaritmo natural de a. Este es el exponente al que hay que elevar e para obtener a.

Si elevamos e a esa potencia, vamos a obtener a. Así que e elevado al logaritmo natural de 2 elevado a u, es tan sólo 2 a la u. Y entonces tenemos más C, por supuesto.

Y ahora podemos sustituir de vuelta. ?A qué igualamos u? Definimos u, aquí arriba, igual al logaritmo natural de x. Así que sustituyamos de vuelta aquí. Así que la respuesta a nuestra ecuación original, su respuesta también la escribiré aquí, por que es más satisfactorio cuando la vemos especialmente con este problema de antiderivadas de apariencia revuelta, 2 elevado al logaritmo natural de x sobre x dx, determinamos que es igual a, reemplazando u con el logaritmo natural de x, por que esa fue nuestra sustitución y 1 sobre el logaritmno natural de 2 por 2 elevado al logaritmo natural de x por C.

Y hemos terminado. Esto no está en el denominador, de la forma en que lo escribí puede parecer ambiguo. ?Y hemos terminado! Este fue un problema bastante bueno, así que gracias a Bud por subirlo a los foros.

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