descargador de youtube “Closed curve line integrals of conservative vector fields Multivariable Calculus”

En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser escrito como el gradiente de un campo escalar– u otra forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente –pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo. Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.

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Closed curve line integrals of conservative vector fields Multivariable Calculus

Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos puntos– permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy. Mis ejes: eje-x, eje-y. Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto, y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos. Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.

Y también tengo, quizá en otro tono de verde, c2 que va de esta forma. Los dos empiezan aquí y van allí. Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea es independiente de la trayectoria entre dos puntos. Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la trayectoria c2, de f punto dr.

Si tenemos un potencial en la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria. Eso es lo bueno de un campo conservativo. Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.

En realidad es una extensión muy importante; puede que ya os parezca obvia. Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar la ecuación un poco. Permitidme hacerlo. Permitidme reordenar esto.

Reescribiré esto en naranja. Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos– Simplemente resto esto de ambos lados –menos la integral c2 de f punto dr va a ser igual a 0. Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y le resté esto en ambos lados. Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una integral de línea de un campo vectorial– no de un campo escalar –con un campo vectorial, la dirección de la trayectoria es importante.

Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2 de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que c2, pero en dirección contraria. Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así– permitidme hacerlo en distinto color –digamos entonces que esto es menos c2, sería una trayectoria como c2– voy a llamarla menos c2 –pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora en esa dirección. Así que ignorad las antiguas flechas de c2. Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.

Esto es menos c2. O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2 a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es cambiar el menos al otro lado; multiplicar ambos lados por menos 1.

Reemplacemos entonces– en esta ecuación tenemos menos de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien –así que podríamos simplemente sustituir esto con esto aquí mismo. Permitidme hacer eso. Escribiré primero esta parte. La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la integral a lo largo de menos c2.

Esto– permitidme cambiar al verde –esto que hemos establecido es lo mismo que esto. Menos esta curva, o la integral a lo largo de este camino, es lo mismo que la integral de línea, más la integral de línea a lo largo del camino inverso. Diremos que más la integral de línea de menos c2 de f por dr es igual a 0. Ahora hay algo interesante.

Miremos qué es la combinación de los caminos c1 y menos c2. c1 empieza por aquí. Permitidme utilizar un color bonito, vibrante. c1 empieza por aquí en este punto.

Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1 y llega a este punto. Y entonces hacemos menos c2. Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve al punto original; se completa una vuelta.

Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada. Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así. Recordad, es simplemente una vuelta. Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí, y entonces volver todo el camino por el camino inverso de c2.

Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada. Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado. Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre el camino cerrado.

Pero esto podría ser, se?aló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente; esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar o cuando sea conservador. Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el reverso de c2 de dr de punto f. Eso es sólo una reescritura de eso y eso va a ser igual a 0.

Y este es nuestro take away para este video. Esto es, puede verlo como un corolario. Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer Después de esta conclusión. Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la plano xy todo–y esto se llama el potencial de f; Esta es una función potencial.

A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil se metiera con negativos–pero si tenemos un campo vectorial el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector campo conservador. Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es es válido, de la línea integral de un punto a otro independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de el último video. Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque es independiente de la ruta de acceso. Eso es puro llevar aquí, que si sabes que Esto es conservador, si has visto algo como esto: Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar Este dado que f es conservador, o dado que f es el gradiente de otra función, o dado que f es ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.

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