descargador de youtube “Divergence 2 Multivariable Calculus”

Entonces, donde lo dejamos estaba tratando de darles la la intuición de la divergencia y luego se me acabó el tiempo. Pero de todos modos, había definido este campo vectorial bastante sencillo que nos dice que la velocidad de las partículas en un fluido en cualquier punto dado.

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Divergence 2 Multivariable Calculus

Y permítanme limpiarlo un poco. En este mitad tengo todo rayado. La velocidad, sólo voy a volver a escribirlo, es igual a 1/2xi.

Así que en cualquier punto dado, no hay factor Y por lo tanto todas las velocidades están en dirección X. No ningún movimiento hacia arriba en el plano XY. Y cuando lo estaba dibujando, dije: bueno, cuando X es igual a 1, la magnitud de la velocidad es tal vez de medio metro por segundo, si esa es nuestra unidad.

Cuando X es igual a 2, la velocidad a la derecha será de 1 metro por segundo, cierto? Una mitad, dos veces. Así que cuanto más lejos vayamos a la derecha, o entre más vayamos a la derecha, más rápido las partículas se mueven a la derecha. Así que ahora vamos a tratar de definir lo que significa la divergencia.

En primer lugar, vamos a considerar la divergencia de esta función. Así que la divergencia de V de nuestro campo vectorial de velocidad, también puedes escribirlo así, si quieres abusar en notaciones es nuestro vector delta, por V. Pero sólo tenemos una dimensión, por lo que es la derivada parcial de la magnitud X con respecto a X. ?Entonces, cuál es la derivada parcial? Así que es igual a la derivada parcial con respecto a X de 1/2X.

Así que es igual a el derivado de éste con respecto a X, lo que es igual a 1/2. Así que la divergencia de este campo vectorial en cualquier punto es 1/2. Ahora, ?qué nos dice eso? Bueno, si sólo miras la definición, ?cierto? dijimos que sólo nos tomó, mejor dicho, ?Cuánto se incrementa la magnitud aumenta en la dirección X? Y lo vemos visualmente, a medida que avanzamos en la dirección x, el campo se hace más y más fuerte. O, ya que sabemos que esta es la velocidad de las partículas, conforme vayamos yendo en la dirección X, las partículas irán más rápido y más rápido a la derecha.

Ahora lo que esto nos dice, lo que esta divergencia positiva indica es que si nosotros si fuéramos a tomar – tomemos arbitrariamente un peque?o círculo. Creo que va a empezar a tener sentido una vez que dibuje el círculo. Si tomo una forma arbitraria – Voy a dibujarlo de diferente color – Este círculo podría ser arbitrariamente peque?o, pero estoy haciéndolo bastante grande para que pueda incluir algunos de los vectores que he dibujado.

?Qué está pasando? En el lado derecho, tengo partículas saliendo muy muy rápido, ?verdad? Digamos que en una determinada cantidad de tiempo, digamos que en un segundo, en un segundo, si miramos el lado derecho, ya que las partículas se mueven muy rápido, voy a tener un montón de partículas dejando el lado derecho, ?no? Y en la misma cantidad de tiempo, voy a tener algunas partículas entrando por el lado izquierdo, pero va a ser un número menor de partículas. Así que la forma en que puedes pensarlo es, en una cantidad dada de tiempo, ?qué es lo que pasa? Bien, en este espacio, tengo unas pocas partículas que entran a través de la izquierda, y tengo un número mucho mayor de partículas yéndose por la derecha. Entonces, ?qué va a suceder en este espacio? Va a ser menos denso, ?no? Debido a que en ese espacio va a haber menos partículas después de una cierta cantidad de tiempo. Más yéndose de las que están llegando.

Y así, ésta divergencia positiva nos dice que en un punto dado, o realmente en cualquier punto dentro de este campo vectorial ya que la divergencia es 1/2 en todas partes, en cualquier punto de este campo vectorial, el campo se vuelve menos denso. O se podría decir que más está fluyendo fuera en cualquier punto, que fluyendo dentro. Tiene sentido, ?verdad? Porque a medida que avancemos a la derecha, y como que se complica un poco en otros cuadrantes, por eso nos quedaremos sólo con el primer cuadrante mientras que tratamos obtener nuestra intuición. Pero hace sentido, porque a medida que avanzamos hacia la derecha nuestras partículas son cada vez más y más rápidas.

Y eso es debido a que nuestra derivada con respecto a X es positiva. La pendiente de cuanto nuestro componente X aumenta es positiva. Así que a medida que avanzamos hacia la derecha, nuestras velocidades se vuelven más y más rápidas, lo que significa que si tuviéramos que dibujar un círculo en cualquier lugar, siempre vamos a tener más saliendo por la derecha que entrando por la izquierda.

Así que se va volviendo menos denso en cualquier punto dado que casi se podría considerar como un punto determinado es casi una fuente de partículas, o si usted tiene una esfera, más partículas van a estar saliendo de la esfera a través de la derecha, que entrando a través de la izquierda. Así que podrías ver una divergencia positiva como podrías decir bueno, el campo es cada vez menos denso en ese punto, o que el punto es una fuente del campo, o que es una fuente de partículas, dependiendo de cuál es el modelo que desees utilizar. Ahora, dicho esto, vamos a tomar la situación opuesta.

Digamos que el campo vectorial es igual a es – 1/2 X i Y así, la divergencia – Voy a usar esta notación – la la divergencia de nuestro campo vectorial es una derivada parcial con respecto a X, que es sólo menos 1/2. Si tuviera que representarla – este es mi eje Y, este es mi eje X -. Así que aquí mismo, por ejemplo, en el punto 1, mi velocidad va a ser 1/2 hacia la izquierda.

En el punto 2 mi velocidad va a ser, hacia la izquierda, 1 metro por segundo. En la velocidad 3, será 3/2. Ya sabes que no depende de Y Sólo depende de X. Así que ahora vamos a dibujar un peque?o círculo y ver lo que está pasando.

Vamos a dibujarlo aquí. Puede ser en cualquier lugar. Es infinitamente peque?o, pero estamos tratando simplemente de conseguir algo de intuición.

Así que. después de una cierta cantidad de tiempo ?qué está pasando? Digamos que después de un segundo. Bueno, tengo unas pocas partículas saliendo por el lado izquierdo, ?cierto? pero tengo muchas partículas más entrando en esta peque?a región que he definido, este peque?o círculo, estoy teniendo muchas partículas entrando por la derecha en una determinada cantidad de tiempo. Así que en cualquier periodo de tiempo determinado, en mi espacio definido, se va a volver más y más denso.

Va a haber más y más partículas en ese espacio conforme pase el tiempo. Así que cada vez es más densa o podrías verlo como que este espacio está absorbiendo partículas. En el ejemplo anterior era una fuente de partículas – más salían de las que entraban, y ahora entran más por la derecha de las que salen.

Y justo eso es una divergencia negativa. Casi se podría decir – vamos a pensar en el palabra, la divergencia. Cuando es positiva, si tengo una divergencia positiva, las partículas o el campo están divergiendo de ese punto.

Si tengo una divergencia negativa , tal vez vamos a definir un nuevo término. En realidad nunca lo he escuchado de esta manera, pero tal vez una divergencia negativa podemos verla como una convergencia, ?verdad? Converger es lo opuesto a divergir. Así que aquí, a pesar de que algunas partículas están saliendo a través de las partículas de la izquierda, muchas más partículas están llegando a través de la derecha, por lo que se está haciendo más y más denso. Y eso es este ejemplo aquí.

Y, de hecho en todos los puntos en este campo tenemos una divergencia negativa. Así que cada punto es cada vez más y más denso en realidad en todo este campo. Y luego, el ejemplo clásico de una divergencia, a pesar de que yo quería para mostrar que lo que importa es la red que viene para un área determinada.

Sin embargo, el ejemplo clásico de una divergencia es un campo que se ve algo como esto. Donde tal vez esa es la x – esa es la y, esta es la x. Si usted tiene un campo que se ve algo como esto, esto es el ejemplo clásico de una divergencia negativa, ?verdad? Cuando desde todas las direcciones que haya partículas de entrar, no se va. Así que, obviamente, en cualquier período de tiempo determinado, ese punto es cada vez más densa.

Y el ejemplo clásico de una divergencia positiva es un punto en donde las cosas desde todas las direcciones están dejando. Así que claramente esta área va a ser menos denso. Si estamos hablando de velocidad de las partículas, después de un momento en el tiempo, más partículas están yéndose que entrando, porque no hay partículas están ingresando. Ahora, ?qué significa si tenemos una divergencia 0? Así que vamos a tratar de crear un campo vectorial que tiene una divergencia 0.

Y trataremos de mantenernos en una dimensión, para la intuición. Eso significa que la derivada parcial con respecto a x es 0. Así que vamos a decir que mi campo vectorial es 5i.

Así que la magnitud es siempre 5 en la dirección i. Así que permítanme hacer eso. Campo vectorial es siempre 5.

Otra forma de pensar de él si tiene un vector de campo constante. Así que la magnitud de los vectores, no importa qué valor de x tome, siempre va a ser la misma. Siempre va a ser 5.

Así que si yo tuviera que dibujar una región, ?qué está pasando aquí? ?Hay más partículas que entran de las que se van o hay más yéndose que entrando? No. Para cualquier cantidad que está entrando, una cantidad igual se va, en una cierta cantidad de tiempo, si se utiliza la velocidad como nuestro ejemplo. Así que cuando usted tiene una divergencia de 0, lo que significa que esa parte del campo no se está convirtiendo en más o menos densa. Y usted podría tener que hacer – Déjame mostrarte otra.

Si mi función era, digamos que es igual a 2i más 2j. Sigue siendo una constante, ?verdad? Así que este campo de la velocidad o el campo de vectores se verá algo como esto. Todos los puntos sería, los vectores tendrían una pendiente de 1. Pero yo sólo quería que vieras algo en dos dimensiones.

Voy a hacer un ejemplo más de lujo en el siguiente video. Pero incluso aquí, si yo tuviera que elaborar una región, la misma cantidad está entrando y saliendo. Por lo tanto, no se está haciendo más densa en ningún punto.

Y eso tiene sentido porque la divergencia de este campo de vectores – bien, tanto de ellos en realidad, la divergencia de ese campo de vectores. La derivada parcial de 2 con respecto a x, así que es 0. Además, la derivada parcial de 2 con respecto a y, lo que también es 0.

De todas formas, se me ha acabado el tiempo otra vez. Los veré en el siguiente video.

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