descargador de youtube “Proof – lim (sin x)_x Limits Differential Calculus”

Ahora que comprendemos un poco del teorema del emparedado, vamos a usarlo para demostrar que el límite — lo escribo en amarillo — el límite cuando x tiende a 0 del seno de x sobre x es igual a 1. Y es probable que estés prestando mucha atención puesto que he dicho esto tantas veces.

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Proof – lim (sin x)_x Limits Differential Calculus

Bueno, empecemos con, por supuesto, la trigonometría, porque nuestra demostración será visual. Entonces voy a dibujar por lo menos el primer y cuarto cuadrantes del círculo unitario. Eso voy a dibujar en magenta.

A ver, lo debo dibujar bien grande. A ver. Mejor de tama?o grande.

Entonces lo dibujaré así. Es suficiente. Y ahora los ejes.

Entonces éste es el eje x, algo así. Disculpa, ése es el eje y. Sí, bueno.

Y el eje x, algo así. ?ste es nuestro círculo unitario. Bueno. Ahora voy a dibujar unas cosas más.

Primero, dibujo — pues, es un radio, pero lo voy a extender más allá del círculo unitario. Hasta allí más o menos. Unas cosas más, para preparar este problema. No, no quería hacer eso.

Quería hacerlo precisamente de este punto. Así. Y de este punto, quiero hacer esto. Y entonces quiero dibujar otra línea de ese punto.

Lo voy a hacer. Y ahora estamos listos. ?Qué dije? ??ste es el círculo unitario, no? Entonces, si ése es el círculo unitario, ?qué significa eso? Es un círculo con radio de 1.

Así que la distancia de aquí hasta aquí es 1. Y si éste es un ángulo x en radianes, ?qué es la longitud de ésta línea aquí? ?De ésa? Pues, por definición, el seno de x se defina como la coordenada y de cualquier punto en el círculo unitario. ?ste es el seno de x.

Se me va a acabar el espacio, así que dibujo una flecha. Entonces éste aquí es el seno de x. Ahora algo un poquito más difícil: ?Qué es la longitud aquí? Pues, pensemos en ello. ?Qué significa tangente? Regresemos a la definición de SOHCAHTOA de tangente.

TOA. La tangente es igual a TOA: opuesto sobre adyacente. Entonces, ?qué es la tangente de x? Pues, sería igual a — podríamos hacer esto — si decimos que éste es el triángulo rectángulo, sería esta longitud — el cateto opuesto — sobre el adyacente, ?verdad? Entonces vamos a llamar esto la longitud, y esto ‘o’ para opuesto.

?Pero que es la longitud adyacente? ?Qué es la base de este triángulo más grande? Pues, es el círculo unitario, ?no? Entonces la distancia de aquí hasta aquí, esta distancia también será 1, ?verdad? Porque es simplemente un radio. Es 1. Entonces el opuesto sobre el adyacente es igual a la tangente de x.

Pero el opuesto sobre el adyacente — el adyacente es simplemente 1, ?verdad? Así que el lado opuesto, este lado aquí, va a ser igual a la tangente de x. Otro modo de edecirlo es, tangente de x es igual a este lado sobre 1, o tangente de x es igual a este lado. Así que voy a escribir esto.

Este lado es igual a la tangente de x. Ahora, pensemos sobre el área de un par de partes de esta figura que he dibujado aquí. Tal vez debía habelo dibujado más grande, aunque pienso que seremos capaces de hacerlo.

Primero, tomemos un triángulo relativamente peque?o. Hagamos este triángulo justo aquí. Lo pondré en verde.

Esye triángulo que dibujo aquí en verde—?cual es el área de este triángulo? Bueno, pues va a ser la mitad (1/2) de la base por la altura. Así que es 1/2 veces la base, qué es 1. ?De acuerdo? Es todo el triángulo. Y luego, ?Cual es su altura? Bien, acabamos de ver que esta altura de aquí, que esta altura es seno de x.

Por seno de x. Entonces, es este triángulo de aquí, ?si? Ahora, cual es es área de–no de este triángulo verde. Lo voy a hacer de un color diferente.

Voy a hacerlo en–voy a hacerlo en rojo. ?Cual es el área de este pi? Este pi de aquí. Este pi. Espero que lo vean–este color no parece distinguirse bien.

Así que, este pi de aquí. O me voy allí. Y lugo me voy al arco. Y es un poco más grande que el triángulo que acabamos de resolver, ?sí? Siempre va a ser un poco más grande, porque incluye este área entre este triángulo y el arco, ?de acuerdo? ?Cual ers el área del arco? bien, si este ángulo es x–, son los radianes de x–?que fracción queda fuera de la unidad del círculo? Bien, hay 2 pi radianes en la unidad total del círculo.

?si? Así que este área de aquí ?va a ser igual a qué? Va a ser igual a la fracción de x del total de radianes de la unidad del círculo. ?si? Entonces, son x radianes sobre 2 pi radianes en toda la unidad del círculo. Este es el tipo de fracción que se obtiene de–como si lo hiciéramos en grados–la fracción que resulta sobre 360.

grados, por el área de todo el círculo, ?lo ven? Esto nos dice que fracción tenemos del círculo, y vamos a multiplicar esto por el área de el círculo entero. Bien, ?cual es el área del círculo entero? El área es pi r cuadrado, el radio es 1, ?si? Así que, el área del círculo entero es pi. Pi r cuadrado, r es 1, poir lo tanto el área del círculo–por lo tanto el área de esta porción aquí, va a ser igual a– este pi se anula–es igual a x sobre 2. Este primer triángulo peque?o, este triángulo verde que hicimos, es seno de x.

1/2 del seno de x, ese es el área de este triaángulo verde. Luego, el área algo mayor de la fracción es– lo resolvemos ahora–es x sobre 2. Y ahoraq, tomemos el área de este triángulo más grande, de este triángulo grande de aquí.

Y esto puede parecer lo más obvio. La 1/2 de la base por la altura. Así que, esto es 1/2–la base es 1 de nuevo–1 por la altura, es la tangente de x. Igual a 1/2 de la tangente de x.

Ahora, debería verse claro solo con mirar este diagrama, sin importar donde dibujo esta linea superior, que este triángulo verde tiene iun área menor que esta racción, que tiene un a?rea menor que este triángulo grande. ?De acuerdo? Entonces vamos a escribir una desigualdad que dice. El triángulo verde–el área del triángulo verde–esto es 1/2 del seno de x, este es el área del triángulo verde–es menos que el área de esta fracción. Esto es x sobre 2.

Y, ambos son menos qué el área de este triángulo grande, ?de acuerdo? Que es 1/2 de la tangente de x. Ahora, ?cuando es esto cierto? Esto es cierto siempre que estemos en el primer cuadrante ?si? Siempre que nos mantengamos en el segundo cuadrante. Es casí también así si nos vamos al cuarto cuadrante, exceptro cuando el seno de x se vuelve negativo, la tangente de x se vuelve negativa, y x es negativa.

Pero, sí tomamos el valor absoluto de todo, se mantiene para el cuarto cuadrante. Por que, si se vuelve negativo, siempre que tomemos el valor absoluto, la distancia de mantendrá y seguimos teniendo areas positivas y todo lo demás. Así que si mi objetivo es obtener el límite, conforme x se acrca a 0, y quiero obtener el límite–con el fin de definir el límite en general, tiene que ser cierto tando desde el lado positivo como del negativo. Vamos a tomar los valores absolutos de ambos lados.

Y con suerte le encontrís el sentido a todo esto. Si fuera a dibujar una línea aquí abajo–y esto sería el seno de x, y esto la tangente de x–siempre que tomemos el valor absoluto de todo, estas esencialmente haciendo lo mismo que el primer cuadrante. Así que tomemos el valor absoluto de todo. Y esto no debería cambiar nada, especialmente si estás en el primer cuadrante.

Y puede que quieras pensar en ello un poco, porque no cambia nada en el segundo cadrante. Tenemos esta desigualdad. veamos si podemos juguetear con esto.

Lo primero de todo, multipliquemos todo por 2. y nos quitamos de encima los 1/2. Así que obtenemos que el valor absoluto del seno de, que es menor el valor absoluto de x, que x es menor que el valor absoluto de la tangente de x. Espero no haberles confundido al tomar el valor absoluto.

Esta desigualdad original que he escrito es completamente válida para el primer cuadrante, pero como quiero que esta desigualdad sea cierta en el primer y cuarto cuadrante, porque estoy tomando el límite según x se aproxima a 0 en los dos lados, pongo el valor absoluto allí. Pueden dibujar la línea aquí abajo y hacer todo lo que hemos hecho en el cuarto cuadrante, pero tomando el valor absoluto y debería reloverse igualmente. De todos modos, volviendo al problema Tenemos esta desigualdad. me estoy quedandsin espacio, voy a borrar parte de todo esto.

Borrar. Borrar Esto no se borra. Ok Esto no se debe borra.

Ok Podemos borrar todo lo que nos llevó hasta aquí. Aunque no podemos olvidarlo. Esto nos deja mucho espacio. Ok Así que vamos a tomar esto, y vamos a tomar esa expresión, y dividir todos los lados.

Usted sabe, y tiene tres lados, a la izquierda, central y derecha. Vamos a dividir todos ellos por el valor absoluto de seno de x. Y ya que sabemos que el valor absoluto del seno de x es un número positivo, sabemos que se trata de menos de signos no cambian, ?verdad? Así que vamos a hacer eso. Así, el valor absoluto del seno de x dividido por el valor absoluto del seno de x, así, que es igual a 1.

Lo cual es menor que el valor absoluto de x dividido por el valor absoluto de seno de x. ?Qué es inferior a – ?Cuál es el valor absoluto de tan – así, todos los Que estoy haciendo es que estoy tomando el valor absoluto del seno de x, valor absoluto de seno de x, valor absoluto de seno de x. ?Cuál es el valor absoluto de la tangente de x dividido por el valor absoluto del seno de x? Bueno, tangente es condición sine sobre coseno. Así que eso es igual a – por lo que sólo, hacer esta parte, justo aquí.

Eso equivale a más de seno coseno dividido por seno. Y usted sabe, usted podría decir que eso es lo mismo como el valor absoluto. Y el valor absoluto dividido por el valor absoluto. Así que lo que queda? Bueno, te acaba de dejar con un sobre – esto cancela con esto, que se convierte en un 1 a 1 sobre el valor absoluto del coseno de x.

Así que usted puede sentir que nos estamos acercando. Debido a que este se parece mucho a esto, se acaba de invertir. Así que para llegar a esto, vamos a invertir. Y para invertir, ?qué sucede? Bueno, en primer lugar, lo que sucede cuando se invierte 1? Bueno, 1/1 está a sólo 1.

Sin embargo, cuando usted invierte ambos lados de una desigualdad, se cambia la desigualdad, ?verdad? Y si eso no tiene sentido para usted, piense en esto. Ya sabes, si digo que 1/2 es menor que 2, y yo invertimos ambos lados de eso, tengo 2 es mayor que 1/2. So that hopefully gives you a little intuition.

Así que si estoy invirtiendo todos los lados de esta desigualdad, tener que cambiar los signos de desigualdad. Así 1 es mayor que el valor absoluto de seno de x, sobre el valor absoluto de x, que es mayor que absoluta valor de coseno de x. Ahora déjame hacerte una pregunta. El valor absoluto de seno de x en – bueno, en primer lugar de todo, seno de x sobre x.

?Habrá alguna vez un momento en el seno de x sobre x es – en el primero o el cuarto cuadrante – ?Hay algún momento en que seno de x sobre x es una expresión negativa? Bueno, en el primer cuadrante, seno de x es positivo, y x es positivo. Así un positivo dividido por un positivo es va a ser positivo. Y en el cuarto cuadrante, seno de x es negativo, y es negativo, y el ángulo es negativo, por lo que x es también negativa.

Así que en el cuarto cuadrante, seno de x sobre x va a ser un divide negativo por un negativo. Por lo tanto, va a ser positivo otra vez. Así seno de x sobre x siempre va a ser positivo.

Así que los signos de valor absoluto son una especie de redundancia. Por lo tanto, podría escribir una es mayor que seno de x sobre x. Y la misma lógica, en los cuadrantes primero y cuarto – y ahí es donde estamos tratando. Estamos hablando de menos pi sobre 2 es menor que x, que es menor que pi durante 2.

Así que vamos de menos más de 2 pi todos los la manera de más de 2 pi. Así que estamos en el cuarto cuadrante y en primer lugar. Es el coseno de x siempre negativo? Bueno, el coseno es el valor de x, y x el – por definición, en los cuadrantes primero y cuarto-el valor de x siempre es positivo. Así que si esto es siempre positivo, podemos deshacernos de la signos de valor absoluto allí, y sólo escribir eso.

Y ahora, estamos dispuestos a usar el teorema de compresión. Déjame borrar todo esto aquí ahora. Así que déjame hacerte una pregunta. ?Cuál es el límite, cuando x tiende a 0, de la función de uno? Pues bien, la función de uno es siempre igual a 1.

Así que puede establecer el límite cuando x tiende a infinito, el límite cuando x tiende a pi, nada. Esto siempre va a ser igual a 1. Así cuando x tiende a 0, esto es igual a 1.

Y entonces ?cuál es el límite, cuando x tiende a 0, de coseno de x? Bueno, eso es fácil, también. A medida que x se aproxima a 0, el coseno de 0 es 1 – y como se obtiene, usted sabe, es una función continua – por lo que el límite es de 1. Así que estamos dispuestos a usar el teorema de compresión.

A medida que se acerquen a 0, cuando x tiende a 0, esta la función se aproxima a 1. Esta función se aproxima a 1. Y esta función, esta expresión, es en entre los dos. Y si es entre los dos, cuando nos acercamos – esto es se aproxima a 1 cuando nos acercamos a 0, esto se está acercando a una medida que enfoque 0, y esto es entre ellos, por lo que también tiene que acercarse a una medida que nos acercamos 0.

Y por lo que estamos usando el teorema de compresión sobre la base de esto y esto. Y se podría decir, ya sabes, por lo tanto, por la contracción teorema, ya que esto es cierto, esto es cierto, y esto es cierto, seno de x sobre x, el límite cuando x tiende a 0, es igual a 1. Así que espero que le dio la intuición. Esa otra manera de ver, ya que esta línea se hace más peque?o y más peque?o, ya que se aproxima a 0, cuando x se aproxima a cero, que esta área y esta área convergen, por lo que el área entre tipo de cuenta a converger a los dos de ellos.

Y si quieres ver gráficamente, no tengo graficada aquí. Déjame ver si puedo graficar esta cosa. Te voy a mostrar el gráfico. Sólo para que me cree.

Así que dice que 1 es siempre mayor que seno de x, que es siempre mayor que el coseno de x, entre pi negativo más de 2 y más de 2 pi. Y, por supuesto, esto no está definida en x es igual a 0. Sin embargo, podemos calcular el límite. Así que ahí lo tenemos.

Esta línea azul aquí, esa es la función 1. Eso es y es igual a 1. Esta línea de color azul claro aquí es el coseno de x.

Y esta es la gráfica de seno de x sobre x. Y usted puede ver que en realidad lo escribió en Así seno de x sobre x, entre pi negativo en más de 2 y pi 2, o los cuadrantes primero y cuarto, la línea roja es siempre en el medio. Siempre es de entre el azul oscuro y la línea azul claro.

Y así, esta es sólo una intuición de lo que sucede con el teorema de compresión. Sabemos que la límite, ya que esta línea de color azul claro se aproxima a 0, es 1. Y sabemos que el límite superior, ya que la línea de color azul oscuro se aproxima a 0 es 1.

Y esta línea roja es siempre en medio de ella, por lo que También se aproxima a 1. Así que ahí lo tienen. La prueba, usando el teorema de compresión, y un poco de trigonometría, visual, de por qué el límite, cuando x tiende a 0, de seno de x sobre x es igual a 1. Espero que no te he confundido.

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