Category Archives: Calculus

YouTube zu mp3 “Surface integral example part 1 – Parameterizing the unit sphere”

Was wir beginnen zu versuchen in diesem Video ist, das Oberfl?chen Integral der Funktion x hoch zwei über unserer Oberfl?che wobei die fragliche Oberfl?che – die Oberfl?che mit der wir uns besch?ftigen die Einheitskugelobefl?che sein wird, damit es definiert werden kann mit x hoch zwei plus y hoch zwei plus z hoch 2 gleich 1.

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Surface integral example part 1 – Parameterizing the unit sphere

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YouTube zu mp3 “Taylor polynomial remainder (part 2) Series AP Calculus BC”

In dem letzten Video haben wir angefangen zu erfahren die Idee von einer Fehlerfunktion, die nicht mit Erwartungswert verwirrt soll, weil es wirklich wie dieselbe Idee aussieht.

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Taylor polynomial remainder (part 2) Series AP Calculus BC

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus BC free response #6a AP Calculus BC”

Problem Nummer sechs Sei f von x gleich dem Sinus von x-quadrat plus Cosinus von x. Der Graph von y gleich dem Absolutbetrag der fünften Ableitung von f an der Stelle x ist oben gezeigt und ich habe ihn noch nicht gezeigt, damit wir hier ein bisschen Platz haben.

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2011 Calculus BC free response #6a AP Calculus BC

Ich werde ihn zeigen, wenn wir ihn brauchen. Ich glaube wir müssen ihn in Teil D zeichnen. Also lasst mich zu erst Teil A hier drüben machen. Schreibe die ersten vier nichtnull Ausdrücke der Taylorreihe von Sinus von x um den Entwicklungspunkt x=0, und schreibe die ersten vier nichtnull Ausdrücke der Taylorreihe für Sinus von x-quadrat um x gleich Null.

Lasst uns zu erst den ersten Teil machen. Und nur eine Erinnerung, eine Taylorreihe ist eine polynomielle Approximation einer Funktion. Als kurze Erinnerung — wir werden das in den Videos über Taylorreihen mehr vertiefen. Aber hat man eine Funktion die so aussieht und man will diese mit einer Taylorreihe um Null approximieren, man k?nnte, wenn man nur einen Term der Taylorreihe hat, würde man wirklich nur, dann w?re es nur diese nur eine Konstante, so etwa.

Hat man zwei Terme der Taylorreihe w?re diese eine Gerade, die so aussieht. Hat man einen drei Terme der Taylorreihe, erhielte man einen Term zweiter Ordnung. Man würde also irgendwie so anfangen zu approximieren.

Wenn man den Term dritten Ordnung berücksichtigt, k?nnte es ungef?hr so aussehen. Und je mehr Terme man berücksichtigt, desto besser wird die Approximation der Funktion und nimmt man unendlich viele Terme, so k?nnte die Reihe tats?chlich gegen die Funktion konvergieren. Also lasst uns erinneren. Wenn Ich eine Funktion, wenn ich f von x habe die Taylorreihe von f: Ich kann sie mit der Taylorreihe approximieren.

Und wenn wir den Entwicklungspunkt bei Null haben m?chten, wird die Reihe gleich f von Null plus f-Strich von Null (die Ableitung an der Stelle Null) mal x plus die zweite Ableitung an der Stelle Null mal x-quadrat geteilt durch Zwei Fakult?t. (Man h?tte diesen Term hier durch 1 Fakult?t teilen k?nnen, was gerade 1 ist) 2 Fakult?t ist genau 2. Und dann plus die dritte Ableitung von f an der Stelle Null mal x hoch 3 geteilt durch 3 Fakult?t plus die vierte Ableitung..

Ich denke man versteht die Idee hier. Die vierte Ableitung an der Stelle Null mal x hoch vier geteilt durch 4 Fakult?t und so weiter und so fort. Was die Aufgabe nun von uns will ist, die vier ersten Nichtnull Terme der Taylorreihe von Sinus von x zu finden.

Und manche von euch wissen das vielleicht schon. Wir haben das in dem Video, in dem wir die Euler Identit?t gezeigt haben, gemacht, aber wir werden es hier nochmal machen. Wenn wir also, Ich werde das g von x nennen, weil ich f von x v hier oben schon definert habe. Sei also g von x und lasst uns eine neue Farbe hierfür nehmen, um die Monotonie ein wenig zu senken.

Sei also g von x gleich Sinus von x. Dann wissen wir, dass g von 0 gleich 0 ist. Und wenn wir die Ableitung betrachten, g-Strich von x wird Minus sein, nein es wird plus Cosinus von x sein.

Plus Cosinus von x. g-Strich von Null ist nun also gleich Eins. Cosinus von Null ist Eins.

Dann wenn man die zweite Ableitung nimmt. Die Ableitung von Cosinus von x ist Minus Sinus von x. Und die zweite Ableitung an der Stelle Null, ist wieder gleich Null.

Sinus von Null ist Null. Und jetzt lasst uns die dritte Ableitung nehmen. Die dritte Ableitung unserer Funktion, g, die Ableitung von Minus Sinus von x ist Minus Cosinus von x.

Und die dritte Ableitung an der Stelle Null wird gleich Minus Eins sein. Und wir machen weiter. Man kann schon raten, wo dies hinführen k?nnte.

Aber ich werde einfach weitermachen, sicherheitshalber. Die vierte Ableitung ist wieder gleich Sinus von x wird jetzt also Sinus von x sein. Und die vierte Ableitung an der Stelle Null, weil es das gleich ist wie die Funktion selber wird wiederum Null sein.

Dies wird also gleich die vierte Ableitung von g an der Stelle Null sein. Und dann k?nnen wir weitermachen. Dies wird dasselbe sein wie die fünfte Ableitung von g, wir fangen an uns zu wiederholen, wenn wir mehr und mehr Ableitungen betrachten. Dies wird also dasselbe sein wie die fünfte Ableitung an der Stelle Null.

Dies wird dasselbe sein wie die sechste Ableitung an der Stelle Null. Und dies wird dasselbe sein — das ist ein Gleichhaltszeichen hier gleich Eins. Und dies wird dasselbe sein wie die siebte Ableitung an der Stelle Null.

Wir wollen also die vier ersten Nichtnull Terme haben. Lasst uns das einfach durchgehen. Also zu erst ist f von Null — ich werd dies in einer neuen Farbe machen wenn wir g von x approximieren wollen, wenn wir Sinus von x approximieren wollen, k?nnen wir sagen, dass Sinus von x ist ungef?hr gleich der erste Ausdruck hier ist Sinus von 0, das ist g von Null. Das ist also Null, wir müssen das also nicht mal aufschreiben.

Dann gehen wir zum n?chsten Term. Die erste Ableitung f-Strich von Null, oder in diesem Fall g-Strich von Null ist gleich Eins. Es ist also einmal x. Man hat also ein x hier.

Und der n?chste Term ist gleich Null, wir sehen das hier drüben, weil die zweite Ableitung unserer Funktion ausgewertet an der Stelle Null gleich Null ist. Unsere dritte Ableitung unserer Funktion ausgewertet an der Stelle Null ist Eins. Diese Term wird hier also auftauchen. Und dieser Term ist eigentlich Minus Eins — ich will keinen Fehler machen das ist Minus Eins.

Es war Minus Cosinus von x und wenn man Minus Cosinus von x an der Stelle x auswertet, erh?lt man Minus Eins hier. Die dritte Ableitung, der Ausdruck hier, ist also Minus Eins. Wir erhalten also Minus x hoch Drei geteilt durch Drei Fakult?t.

Die vierte Ableitung ist wieder Null. Die fünfte Ableitung an der Stelle Null ausgewertet ist Eins. Dann hat man also plus Eins mal x hoch Fünf geteilt durch Fünf Fakult?t.

Die sechste Ableitung ist Null, diese Term verschwindet also. Ich schreibe ihn nicht mal auf. Und der siebte Term, der Koeffizient ist Minus Eins. Oder, die siebte Ableitung ausgewertet an der Stelle Null ist Minus Eins.

Man hat also Minus Eins mal x hoch Sieben geteilt durch Sieben Fakult?t. Und wir mussten bis zum Term von Grad Sieben gehen, um die ersten vier Nichtnull Terme der Taylorreihe zu finden. Und jetzt sind wir fertig mit dem ersten Teil. Wir haben die ersten vier Nichtnull Terme von Sinus von x gefunden.

Wie sieht es jetzt mit Sinus quadrat von x aus oder Sinus von x-quadrat. Hier müssen wir vorsichtigt sein. Denn man k?nnte sagen, okay, wir wenden einfach diese Formel an und man wird schnell feststellen, dass wenn man die zweite und dritte Ableitunng nimmt, von diesem Ausdruck hier drüben, dann wird es ziemlich unsch?n werden.

Aber was man sagen kann, ist, dass Sinus von ist ungef?hr dieser Ausdruck hier. Was passiert, whenn wir x mit x-quadrat ersetzen? Dann erhalte ich x-quadrat ist ungef?hr gleich an Stelle von x hier, setze ich x-quadrat ein an Stelle von x hoch Drei setze ich x-quadrat hoch Drei ein, geteilt durch Drei Fakult?t. An Stelle von x hoch Fünf kann ich hier x-quadrat hoch Fünf geteilt durch Fünf Fakult?t einsetzen. Und an Stelle von x hoch Sieben, kann ich x-quadrat hoch Sieben geteilt durch Sieben Fakult?t einsetzen.

Es ist sehr wichtig dies zu verstehen Da, wenn man direkt angefangen h?tte die Taylorreihe um den Punkt Null von diesem Ding hier zunehmen, h?tte man viel Zeit da mit verbracht diese Ableitungn auszurechnen und w?re wahrscheinlich sowieso nicht in der Lage gewesen diese zu berechnen, weil sie sehr unsch?n sind. Und der Schlü?el hier ist, zu verstehen, dass man , wenn man einfach x durch x-quadrat ersetzt, man die Approximation für Sinus von x-quadrat bekommt. Und wir k?nnen dies ein bisschen vereinfachen.

Dies wird ungef?hr gleich x-quadrat minus x hoch Sechs geteilt durch Drei Fakult?t plus x hoch Zehn geteilt durch Fünf Fakult?t minus x hoch Vierzehn geteilt durch Sieben Fakult?t. Dies war der zweite Teil des Problems.

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus BC free response #3 (b & c) AP Calculus BC”

Wir sind bei Teil B. Die Region R wird um die x- Achse gedreht, sodass ein K?rper entsteht.

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2011 Calculus BC free response #3 (b & c) AP Calculus BC

Ermittle das Volumen V des K?rpers bezogen auf k. Das ist unsere Region R und sie wird um die x- Achse gedreht; dabei entsteht ein K?rper. Dieser K?rper wird in etwa so aussehen: Es wird so aussehen – und das wird das Ende des K?rpers nach der Rotation sein.

und das wird in etwa so sein. Mein bester Versuch unseren K?rper zu malen.

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus BC free response #1d AP Calculus BC”

Teil D: Ermittle die gesamte zurückgelegte Distanz mihilfe des Zeitintervalls zwischen (Zeit) t=0 und t=0 oder anders 0 kleiner gleich t kleiner gleich 3 Um sicher zu gehen, zeichen wir ein Koordinatensystem. Natürlich musst das nicht machen, wenn du unter Zeitdruck stehst, ich will sichergehen, dass wir alle verstehen, was gemacht wird.

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2011 Calculus BC free response #1d AP Calculus BC

Also wenn t=0, wo sind wir? Nun, die Angabe sagt uns: x(0) ist 0, also ist x auf 0 und y(0) is -4, also sind wir auf diesem Punkt (0, -4). Das ist wenn t=0 und wir haben im vorherigen Teil schon herausgefunden, was passiert, wenn t=3. Wir fanden heraus, dass x bei 21 einliegt. Ich würde mal sagen, 21 liegt so ungef?hr hier.

x(3) ist 21 und y(3) war -3 komma irgendwas. Das bringt uns genau hierher. Also das ist 21 und das haben wir vorher schon gel?st, ich glaube es war -3.

226, und so schaut das aus, wenn t=3. Und zwischen diesen Punkten verl?uft irgendwie die Kurve. Wir k?nnten das auch auswerten, aber es wird wohl so ungef?hr ausschauen.

Wir machen einfach mit dem weiter. Also jetzt ist die Frage von Teil d, was die insgesamt gefahrene Distanz ist. oder anders formuliert: Was ist die L?nge der Kurve? Das k?nnen wir berechnen, es gibt eine Formel zur Berechnung der Bogenl?nge.

Wenn du sie wei?t, kannst du sie gleich anwenden. Es w?re nicht schlecht, diese Formel zu k?nnen, vor allem wenn man bei einer Prüfung unter Zeitdruck steht. Aber ich vergesse sie immer, ich bin fast 35. Deswegen erarbeite ich sie immer selbst und das macht mich auch ein bisschen zufrieden, denn es erinnert uns daran, warum die Formel funktioniert.

Also wir ermitteln wir die ein Stück der L?nge dieses Bogens? Machen wir diesen teil, ich mag diesen Teil mehr. Also sagen wir, wie berechnin wir ein kleines Stück der Bogenl?nge genau hier? Sagen wir, wir haben ein kleines Stück des Bogens, ich zoome dorthin. Du hast eine kleine Ver?nderung in x entlang des Bogenstücks, dass ich vergr??ert habe. Nenn das mal dx und du hast auch eine kleine Ver?nderung in y, also dy, und wir wissen aufgrund der Theorie von Pythagoras: wenn wir klein genug werden, k?nnen wir eine Hypotenuse finden denn hier ist die Katheten und hier ist die Hypotenuse.

Und wenn man klein genug wird, wird diese Linie immer gerader und man erkennt die Hypotenuse genau hier. Wir wissen was das ist, aus der Theorie von Pythagoras. Das wird nun die Quadratwurzel aus dx zum Quadrat plus dy zum Quadrat genau nach Pythagoras. Wir schreiben wir das nun als Funktionen von t an? Wir wissen bereits, dass dx/dt das gleiche wie x'(t) ist oder wenn wir die Differnziale als Zahlen sehen, und das kann man meistens, wir wissen das dx gleich x'(t) ist und wir wissen dass dy von t oder dy/dt, .

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus BC free response #1 (b & c) AP Calculus BC”

Teilb Finde die Steigung der Tangente auf den Pfad der die Partikel Zeit t = 3 Also geht die Steigung der Tangente jetzt gleich zu sein Ver?nderungsrate der y hinsichtlich x an diesem Punkt und das ist das gleiche wie dy dt über Dx dt und Umgang mit Differenzen ist ein wenig seltsam. vor allem, wenn Sie konsequent mit ihnen umgehen wollen, aber Sie k?nnen sie ansehen, wie sehr wenig kleine ?nderungen in y, kleine ?nderungen in t, kleine ?nderungen in X, kleine ?nderungen in t Wenn Sie es auf diese Weise anzeigen k?nnen Sie sagen, “Oh Look, wenn ich nur multiplizieren Sie den Zaehler und den Nenner von dt über dt Wenn Sie tun, ist die der gleichen Kleingeld, dann sie aufheben würde und Sie würde wieder um die dy über dx und der Grund warum ich es so geschrieben ist, dass sie tats?chlich uns diese Werte geben Sie geben uns dy dt und sie geben uns Dx dt.

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2011 Calculus BC free response #1 (b & c) AP Calculus BC

Also, wollte man den Hang zur Zeit finden gleich 3, Wir müssen nur dy finden dt zur Zeit gleich 3 und Dx dt und Zeit ist gleich 3. Also dy dt zur Zeit 3, entspricht diesem dy dt direkt hierher, Es wird nur Sinus Quadrat 3 oder Sinus 9 sein. und Dx dt zur Zeit 3, das gerade sein wird, es erz?hlt uns was Dx dt ist, als Funktion der Zeit, vier mal drei plus eins Nun, das ist dreizehn.

Und wir k?nnen nur unser Rechner heraus und Eveluate diese. Irgendwie haben wir eine Menge dieser Arbeit in das erste Problem, also nur tats?chlich nehmen die Werte. Wir haben also Sinus von neun von dreizehn geteilt. Ruft uns NULL NULL drei zeigen eine sieben (0.

0317) und wir sind fertig, und das ist die Steigung der Tangente auf den Pfad des Partikels zur Zeit ist t gleich 3. Ich denke, wir haben Zeit, um die Kurbel aus Teil C sowie. Teil C: Finden Sie die Position des Pariticle zum Zeitpunkt t ist gleich 3.

Also sie geben uns x Premierminister von t und sie geben uns y Premierminister von t. Dies ist X-Prime t und y-Prime von t ist. Wir müssen herausfinden, drei x und y von drei.

Wir schreiben x t und y von t, und dann auf drei bewerten. Also mal sehen. Also wird x t hier gleich zu den Anti-derivative dieses Rechts sein.

So wird die Anti-derivative der vier t zwei t kariert sein. Nehmen Sie die Dervative hier und Sie nur Get 4 t. ANti-derivative eines ist t, plus t, und Sie zu haben, gut, plus eine Konstante.

Wir haben nur die unbestimmte ist dieser Seite 4t plus 1, So erhalten Sie Ihre st?ndige hier, weil wenn man die Ableitung dieser Konstanten, die Konstante offensichtlich verschwinden, Sie würden diese Informationen verlieren.

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus AB free response #6a AP Calculus AB”

Problem Nummer 6. Sei f definiert ist durch f von x ist gleich, und es gibt zwei F?lle in denen x weniger oder gleich 0 ist, f ist 1 weniger 2 Zeichen vonx, wenn x gr??er ist als 0, ist f e zum negativen 4 x.

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2011 Calculus AB free response #6a AP Calculus AB

Zeige dass f stetig ist, wenn x gleich 0 ist. Was muss stetig sein wenn x gleich 0 ist und denke darüber nach was dafür passieren muss. Also wenn ich hier eine Funktion habe, bei der das meine x-Achse ist und wir sagen, dass das meine y-Achse ist und wir beachten was passiert wenn x gleich 0 ist und wir sagen dass das unsere Funktion ist, dann sieht die Funktion vielleicht in etwa so aus. Ich weis nicht was es, insbesondere diese hier sieht in etwa so aus.

Und diese hier sieht wahrscheinlich so aus, wer weis, und dann sieht das ganze in etwa so aus. Und die Angaben sind nicht so wichtig wir müssen nur darüber nachdenken was gefragt ist. Um an dieser Stelle stetig zu sein, das Limit das wir von links erreichen , das Limit wenn wir von Links 0 erreichen sollte gleich zu der Summe der Funtion zu 0 sein. Das Limit von f von x sollte gleich zu f von 0 sein welches wiederum gleich zu dem Limit seien sollte, dass wir von rechts erreichen.

Das sollte gleich zu dem Limit seine wenn wir 0 von Rechts erreichen, so dass es gleich zu dem Limit wie x erreicht 0 zum rechten f von x. Und der Grund warum das von interesse ist, ist dass wenn in dem Fall, wenn f von 0 ist nicht das gleiche, wie ein Limit dann haben wir einen SPalt an dieser Stelle, so dass wir keine Begrenzung haben k?nnen. Wir k?nnen also eine solche Situation haben, bei der wir an dieser Stelle einen Spalt haben und es in etwa so aussieht.

So dass die beiden Begrenzungen von links und recht s exestieren und der Begrenzungspunkt würde existieren, aber wenn die Funktion nciht gleich der Menge an dieser Stelle ist, aber irgenetwas anderes gleich ist, dann würde die Funktion nicht durhcgehend sein. Das ist der Grund warum die Begrenzung gleich der Menge der Funktion sein muss, damit diese kontinuierlich seien kann. Denke darüber nach ob all diese Dinge gleich zueinander sind.

Zu erst denke über den Wert der Funktion an dieser Stelle nach. Wir machen den Teil A, f von 0 ist gleich, wir nehmen diesen Fall an weil es der Fall ist in dem x weniger oder gleich 0 ist, also: f von 0 wird gleich 1 minus 2 mal 0 sein. Zeichen 0 ist 0, 2 mal 0 ist 0, so ergibt das gesamte “Ding” gleich 0. 1 minus 0 ist 0.

Nun denken wir über die Grenze nach wenn x 0 von der linken seite von f von x erreicht. So wie wir die Null von der linken Seite haben wir mit diesem ersten Fall zu tun haben hier oben zu n?hern. Das ist also der Grenzwert, wenn x gegen Null von der linken Seite von 1 minus 2 Zeichen x.Jetzt von x unterzeichnen ist kontinuierlich seine eine stetige Funktion, so das wird das gleiche wie ein minus 2 Zeichen der Null, die wir schon gedacht haben, aus der genau gleich 1 ist.

Also ist es gleich 1. Deshalb ist der Wert der Grenze, wie wir von der linken zu n?hern, ist der gleiche wie der Wert der Funktion. Nun tun wir es wenn wir von rechts kommen. Wie wir aus der x-Werte gr??er als Null n?hern.

Lassen Sie uns also denken über die Grenze, wie wir n?hern 0 von rechts von f von x. Wir spielen hier mit Wertem von x die Gr??er als 0 sind also wir besch?ftigen uns mit dem Fall an dieser Stelle so dass es die Grenze sein wird wenn x 0 von rechts von e erreicht zu dem negativen 4x. Und das x das uns intersiert , oder im Moment gilt, ist dies eine durchgehende Funktion. Es ist eine durchgehende Funktion, de?halb wird es das gleiche sein wenn e 4 mal 0 ist, welches einfach e zu 0 ist, welches wiederum 1 ist.

Also noch einmal ist diese hier gleich 1. Die Funktion ist also 0, an dem Punkt an welchem die Grenze die wir von links erreichen gleich 1 ist und die stelle an der wir von rechts an die grenze sto?en auch gleich 1 ist. Also ist die Funktion durchgehend an dieser Stelle.

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus AB free response #4b AP Calculus AB”

Teil B: Bestimme die x-Koordinate des Punktes in welchem g ein absolutes Maximum hat im intervall -4 kleiner gleich x und x kleiner gleich 3 und begründen Sie Ihre Antwort. Denken wir zuerst allgemein darüber nach.

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2011 Calculus AB free response #4b AP Calculus AB

So, allgemein für das Intervall, wo kann x ein absolutes Maximum haben. Zeichnen wir hierzu die Achsen. Jetzt spricht im allgemeinen Begriff zuerst und zurück zur Funktion der f(g) und ziehen diese Funktion hier. Wir kümmern uns sagen lassen .

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus AB free response #4a AP Calculus AB”

x die kontinuierliche Funktion ‘F’ definiert sich am Intervall -4>x>3, der Graph von ‘F’ besteht aus zwei geviertelten Kreisen, und einer Strecke. Hier ist also ein geviertelter Kreis, und hier ist noch ein geviertelter Kreis und dann ist da noch eine Strecke hier drüben, wie in der oben gezeigten FIgur ersichtlich.

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2011 Calculus AB free response #4a AP Calculus AB

(ich habe die Figur zur Seite gestellt so dass wir etwas mehr Bildschirmraum hier unten haben). ‘G’ von ‘X’ ist gleich 2x plus dem konkreten Intervall von Null bis ‘X’ von ‘F’ von ‘T’, und ‘DT’. Jetzt wird es interessant, lass uns mit Teil ‘A’ weitermanchen..

Teil ‘A’: finde ‘G’ von -3. Wir wollen also ‘G’ von -3, also lernen wir zuerst was ‘G’ von ‘X’ ist.

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YouTube zu mp3 “2011 Calculus AB free response #3 (a & b) AP Calculus AB”

lassen wir r dieRegion des ersten Quadranten sein, welches vom Graphen f von x gleich 8 hoch drei und g von x gleich sin pi x eingeschlossen ist, so wie in der Graphik hier gezeigt wurde Teil A: schreibe die Gleichung für die Tangente an der Graphik von f ist x gleich 1/2. Nun lass uns das hier wieder zeichnen, wahrscheinlich mag ich es auf dem schwarzen Hintergrund besser, deswegen zeichne ich es wieder also ist die Funktion f von x ist 8 gleich mit 8x hoch drei, es sieht so aus so, das ist unsere f von x Achse, diese ist unsere X Achse und wir wollen eine Gleichung für die Tangente Gerade in x gleich 1/2, also ist das x ist gleich 1/2, geh hier oben, wenn du einsch?tzt f von 1/2, so bekommst du f bekommst du 8 mal 1/2 hoch drei, und das ist 8 mal 1/8, und das ist 1, das schon in diesem Punkt, welches1/2 ist, Komma 1, und wir brauchen die Gleichung der Tangente zu finden Die Tangente wird ungef?hr so aussehen, und um diese Gleichung herauszufinden, müssen wir ihre Steigung herausfinden und dann kennen wir einen Punkt drauf und wir k?nnen entweder die Punkt Steigung oder deine eigene Steigungsgleichungformel benützen um eine Gleichung zu dieser Gerade zu finden.

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2011 Calculus AB free response #3 (a & b) AP Calculus AB

Also der erste Teil sollen wir die Steigung herausfinden und die Steigung und die Tangente werde die gleiche Steigung haben wie die Funktionssteigung in diesem Punkt, oder anders ausgedrückt, es wird F Strich von 1/2 oder die Ableitung gesch?tzt für 1/2. Die Ableitung gibt uns die Steigung der Gerade in jedem Punkt, so das was ist f Strich von x? F Strich von x ist bloss die Ableitung davon, so das 3 mal 8 ist 24, mal x quadrat 24 mal Quadrat, F Strich von 1/2 ist gleich 24 mal 1/2 im Quadrat, was gleich ist mit 24 mal 1/4, welches gleich 6 ist. Also ist die Steigung der Gerade gleich 6, ich werde m für die Steigung, wie wir erw?hnt haben werden wir Algebra benützen, wir haben es in Algebra zum ersten Mal gelernt, also wird die Steigung 6 sein, also die allgemeine Gleichung dieser Gerade ist mx + b, das die Steigung und das ist die Kreuzung mit der y Achse wir wissen schon das die Steigung 6 ist und dann k?nnen wir die Tatsache brauchen, das die Gerade diesen Punkt durchquert 1/2, 1 umd b herauszufinden, also wenn y gleich 1 ist, so ist 1 gleich unsere Steigung mal x, x ist 1/2 or anders gesagt wenn x 1/2 ist, y ist 1 plus etwas von dem Schnittpunkt mit der y Achse, und wenn ich x also 1/2 nehme, multipliziere mit der Steigung, plus den y Achsenschnittpunkt, sollte ich 1 bekommen. Also bekomme ich 1 ist gleich 3 plus b, ich kann 3 von beiden Seiten subtrahieren und ich bekomme minus 2 ist gleich zu b.

Also wird die Gleichung der Geraden gleich 6 mal minus 2. Das ist die Gleichung der Tangente. Nun Teil B: Finde die Fl?che von r heraus.

Also r ist der Bereich gleich hier, eingeschlossen oberhalb durch g von x, welcher sin von pi x ist, und unterhalb von f von x angegrenzt, oder 8 hoch drei. Also die Fl?che wird sein, ich werde nur wenig runterrollen, ich m?chte die Graphik noch sehen k?nnen Teil B. Die Fl?che von r wird das Integral von 0, das ist dieser Schnittpunkt gleich hier bis 1/2 , also mache ich das hier nochmal 0 bis 1/2 und dann die Funktion darüber, also wir k?nnten diese Fl?che nehmen, aber wir müssen sie aus der Fl?che der Funktion unter abziehen oder anders ausgedrückt, das Integral von 0 zu 1/2 der Funktion g von x, welche sin pi x ist, also sin von pi x aber wenn wir nur dieses Integral einsch?tzen, lass uns hier ein dx eintragen, wenn wir nur das einsch?tzen so würden wir die ganze Fl?che dieses Bereiches bekommen wir die ganze Fl?che, aber was wir noch machen müssen, wir müssen die Fl?che darunter unter der zweiten, unter f von x abziehen, lass uns also die Fl?che darunter subtrahieren f von x und f von x haben wir gesehen ist 8x hoch drei, ist 8 x hoch drei.

Und nun k?nnen wir das berechnen, also lasst mich hier eine Gerade zeichnen, es wird etwas unübersichtlich, etwas wirr ich mach das hier unten, so also wir müssen die Stammfunktion von sin von pi x nehmen. nun, die Ableitung die Ableitung von cosinus von x ist minus sin x, die Ableitung von cosinus von pi x ist minus pi cosinus von pi x, also die Ableitung- die Stammfunktion von sinus pi x ist minus 1 durch pi cosinus, cosinus von pi x. Und du kannst es selber überprüfen und vielleicht sagst du: ‘wie weisst du es war eine Negative Zahl?’ Nun, ich habe die Negative Zahl genommen, so dass wenn ich die Ableitung von cosinus von pi x ich eine minus Zeichen erhalte, aber das Minus wird das Minus ausgleichen, so dass ich ein Plus bekomme und du sagst: ‘Warum hast du ein pi hier gestellt?’ Bun, wenn du die Abeitung von dem nimmst mit der Kettenregel, nimmst du die Ableitung von pi x und du bekommst pi und du würdest alles multiplizieren und du bekommst minus sin von pi x, und dieses Pi ist hier nicht zu sehen, also brauche ich etwas womit ich es kürzen kann und das ist warum das über pi sich kürzen lassen wird, und du kannst u Substitution machen und all den Rest und wenn, wenn , wenn du so etwas nützlich findest, aber es ist keine gute Gewohnheit, oder ich glaube es ist gut das schon auf einem Blick zu machen fast auf einem Blick und du kannst überprüfen, dass die Ableitung sin von pi x ist also der Stammbruch von sin von pi x ist das der Stammbruch von minus 8 x hoch drei ist minus 8 ich werde es durch 4 teilen, so dasminus 2 x hoch vier und alles was ich gemacht habe, ich bin von 3 auf 4 gestiegen und dann die 8 durch die 4 geteilt und du kannst die Ableitung davon nehmen um zu überprüfen, dass das das gleiche ist wie minus 8 x hoch drei Nun werden wir das von 0 bis 1/2 einsch?tzen müssen wenn du bei 1/2 berechnest..

so.also werde ich minus 1 durch pi cos von pi durch 2 cos von pi durch 2 minus 2 mal 1/2 hoch vier ist 1/16 so das ist nun berechnet bei 1/2 und von hier werde ich minus 1 durch pi cos von 0 subtrahieren lasst mich das ausschreiben also minus minus 1 durch pi, minus 1 durch pi cos von pi mal 0 cosinus von pi, lasst mich das ausschreiben, cosinus von 0 pi kann ich als pi mal 0 schreiben minus 2 mal 0 hoch vier so das wird minus 0 sein lasst uns das ausrechnen um es zu vereinfachen, wir haben ein cosinus von pi durch 2 cosinus von pi durch 2 wird 0 sein, also ist das Ganze 0 und dann hast du eine minus 2 geteilt durch 16, das gibt minus 1/8 minus 1/8 und davon werde ich das da subtrahieren cos von 0, das ist 1. Also ist das minus 1 durch pi, eine minus 1 durch pi und dann haben wir eine 0 dort, also kann ich das ignorieren also das ist gleich minus 1 durch 8, plus, plus 1 durch pi und wir sind fertig Der Teil wo du kein Rechner benützen darfst also ist das das Weiteste, das ich erwarte, dass sie erwarten dass ihr gehen werden also das ich erwarte, dass du kommen wirst also lass ich dich hier im n?chsten Video werden wir Teil C durchnehmen .

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