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Digamos que tenemos la funcion, f de x igual a el logaritmo natural de x elevada a cuatro mas 27. en el registro natural de x a la cuarta plus 27.

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Another example graphing with derivatives Differential Calculus

Y todo lo que queremos hacer es tomar su primera y segunda derivados y el uso tanto de nuestras técnicas como tenemos en nuestra disposición para intentar gráfico sin un calculadora gráfica. Si tenemos tiempo, podrá sacar la calculadora gráfica y ver si nuestra respuesta coincide. Así es un buen lugar para empezar a tomar la primera derivado de ello.

Así que permítanme hacer eso aquí. Así, los derivados de f. Bueno, tomar la derivada del interior, así que el derivado de que hay derecho, que es 4 x a la tercera, y luego multiplicar veces derivado del exterior, con respecto al interior. Por lo que la derivada del registro natural de x es 1En x.

Así, los derivados de todo este asunto con respecto a esto dentro de la expresión va a ser, lo tiempos 1 sobre x para el cuarto además de 27. Si no encuentra ese confuso, tal vez desee rewatch los videos de regla de la cadena. Pero es la primera derivada de nuestra función. Pude reescritura de esto, esto es igual a 4 x y la tercera sobre x a la cuarta, además de 27.

O podría escribirlo como 4 x con el tercer tiempos x a la cuarto, además de 27 a 1 negativo. Tres de estas expresiones son equivalentes. Soy sólo la escritura, multiplicados por o pudiera escribir esto como un exponente negativo, o podría escribir Esto como una fracción, con esto en el denominador.

Son todos el equivalente. Por lo es nuestra primera derivada. Vamos a hacer nuestra segunda derivada. Nuestra segunda derivada, esto parece obtendrá un poco peludo.

Por lo tanto nuestra segunda derivada es la derivada de esto. Por lo que es igual, ahora puede utilizar la regla del producto, es el derivado de esta primera expresión veces la segunda expresión. Por lo tanto la derivada de esta primera expresión, 3 veces 4is 12.

12 x al cuadrado, derecha, sólo disminuir el 3 por 1, veces la segunda expresión, veces x al cuarto más 27 a menos 1 y luego, queremos a?adir la primera expresión, no su derivado, tan sólo 4 x a veces terceros, la derivada de la segunda expresión. Y la derivada de la segunda expresión, podríamos tomar la derivada del interior, que es de sólo 4 x para la en tercer lugar, es sólo la derivada de 27 0, tan veces 4 x a la tercero, multiplicado por la derivada de todo este asunto con respecto a su interior. Así veces, para tomar a este exponente, ponen por delante, lo veces menos tiempos de 1, todo este asunto, x al cuarto plus 27 a, tenemos este decremento por uno más, así que menos dos.

Así que vamos a ver si puedo simplificar esta expresión con un poco. Esto es igual, así que esto aquí es igual a x 12 cuadrado sobre esta cosa, x a la cuarta plus 27 y entonces, vamos a ver, Si multiplicamos vamos a tener un signo de menos aquí, por lo que es un signo menos, se multiplican estos dos chicos, 4 veces 4is 16, 16 x a los terceros tiempos x y la tercera es x a la sexta, sobre este asunto al cuadrado. Sobre x a la cuarta plus 27 cuadrado.

Eso es sólo otra forma de escribir esa expresión ?allí, correcto? Al menos 2, acaba de poner en el denominador y hacerla en una positiva 2 en el denominador. Lo mismo. Ahora, si has visto estos problemas en el pasado, nos siempre desee establecer estas cosas igual a 0. Queremos resolver para x es igual a 0.

Por lo que sería útil tener esta expresada como una fracción, en lugar de la diferencia o la suma de dos fracciones. Por lo que es lo que podemos hacer, podríamos tener un denominador común. Así podríamos multiplicar el numerador y denominador de Esta expresión por x a la cuarta plus 27, y ?Qué obtenemos? Así que esto es igual, así que si multiplicamos esta primera expresión, veces x a la cuarta plus 27, obtenemos 12 x veces cuadrados, x a la cuarta, además de 27. Y, a continuación, en el denominador, tienes x a la cuarto además 27 cuadrado.

Todos lo hice, multiplicado este numerador y este denominador x al el cuarto además de 27. No cambiarlo. Y luego tenemos segundo mandato.

Menos 16 x para el sexto sobre x al cuarto más 27 cuadrado. Toda la razón ?por que? Ahora tengo un denominador común, ahora puedo simplemente agregue los numeradores. Así que esto va a ser igual, vamos a ver.

El denominador, sabemos lo que es el denominador, es x el cuarto más 27 cuadrado. Ese es nuestro denominador. Y, a continuación, podemos multiplicar esto.

Se trata de 12 x cuadrado veces x a la cuarta. Eso es x 12 de la sexta, además de 12 27 veces. Incluso no apetece multiplicando 12 27 veces, tan Sólo a escribir.

Así más veces 27 12 x al cuadrado, sólo multiplica el 12 x cuadrado veces el 27 y entonces menos 16 x para el sexto signo menos 16 x a la sexta. Y esto simplifica a, vamos a ver si puedo simplificar este aún más. 7 x la sexta aquí, x la sexta aquí.

Esto es equivalente a hacerlo en rosa. Esto es igual a 27 veces cuadrado x 12, no me siento como consiste en que ahora, a veces al cuadrado x 12 y luego te tienen menos de 16 x para la sexta y más x 12 de la sexta. Para agregar los dos, obtendrá menos 4.

12 menos 15is menos 4, x a la sexta, todo eso en x el cuarto más 27 y 27 cuadrado. Y eso es nuestra segunda derivada. Ahora, hemos hecho todos los derivados, y esto fue realmente es un problema bastante peludo.

Y ahora podemos resolver para cuando la primera y la segunda derivados igual a 0 y tendremos nuestro candidato, bien, veremos conocer nuestros puntos de crítica, y entonces tendremos nuestro candidato puntos de inflexión y ver si podemos hacer cualquiera avanzar desde allí. Primero, veamos donde nuestra primera derivada es igual a 0, y obtener los puntos críticos. O por lo menos tal vez, también quizás, donde tiene undefined. Esto es igual a 0.

Si queremos establecer, si el único lugar que esto puede igualar a 0 es si este numerador es igual a 0. Este denominador, en realidad, si estamos asumiendo que estamos tratando con números reales, este término aquí siempre va a ser mayor que o igual a 0 para cualquier valor de x, porque es un exponente incluso. Así que esta cosa no puede nunca igual a 0, a la derecha, porque eres Agregar 27 a algo que es negativo. Así que esto nunca será igual 0, así que esto será también nunca ser indefinido.

Por lo que no hay aquí, puntos de crítica indefinidos pero Podríamos establecer el numerador igual a 0 bastante fácilmente. Si queríamos definir esto igual a 0, decimos simplemente 4 x a la en tercer lugar es igual a 0, y sabemos qué valor x hará que igual a 0, x tiene que ser igual a 0. 4 veces, algo que la tercera es igual a 0, que algo tiene que ser 0.

x y la tercera tiene que ser 0, x debe ser 0. Así podemos escribir, primer f 0 es igual a 0. 0 Es un punto crítico.

0 es un punto crítico. La pendiente en 0 es 0. No sabemos si es un máximo o un mínimo, o un punto de inflexión todavía. Nos explorará un poco más.

Y en realidad, tan obtenemos la coordenada, ?Qué es la coordenada? La coordenada x es 0 y, a continuación, y es el registro natural–si x es 0, esto resulta, es el un registro natural de 27. Permítanme figura lo que es, para que te salga la calculadora. Dijo que no utilizar una calculadora gráfica, pero puedo utilizar una calculadora normal. So27, si tuviera que tomar el registro natural de, nuestros propósitos sólo vamos a llamarlo 3.

3. Sólo estamos tratando de obtener la forma general del gráfico. Tan 3,3. Bueno, sólo podríamos decir 2.

9 y lo mantiene pasando. Este es un punto crítico aquí. La pendiente es 0 aquí.

Pendiente es igual a 0 x es igual a 0. Esto es una cosa que queremos cerrar. Y vamos a ver si podemos encontrar cualquier candidato puntos de inflexión.

Y recuerde, puntos de inflexión del candidato son donde el segunda derivada es igual a 0. Ahora si la segunda derivada es igual a 0, no diga nosotros que definitivamente son puntos de inflexión. Quiero dejar esto muy claro. Si, quiero hacerlo en un nuevo color.

Si x es flexión, entonces la segunda derivada de x es va a ser igual a 0. Porque va a tener una cambio de concavidad. Tienes un cambio en la pendiente, va bien aumentar desde disminuyendo a aumentar o disminuir. Pero si la derivada es igual a 0, es la segunda derivada igual a 0, no se asume que es un punto de inflexión.

Por lo tanto lo que vamos a hacer, vamos a encontrar todos los punto en que esto es cierto y luego ver si hacemos realmente tener un cambio de signo en la segunda derivada de punto y sólo si tienes un cambio de signo y, a continuación, se puede decir es un punto de inflexión. Así que vamos a ver si podemos hacer eso. Tan solo porque una segunda derivada es 0, que por no se decirte es un punto de inflexión.

Tiene que tener una segunda derivada de 0 y cuando usted ir arriba o abajo que x, la segunda derivada tiene que realmente cambiar signos. Sólo entonces. Por eso podemos decir, si los cambios principales f firma alrededor de x, entonces podemos decir que x es una inflexión.

Y si está cambiando signos alrededor de x, entonces es definitivamente va a ser 0 en x, pero tienes que ver realmente Si es negativo antes de x, ha de ser positivo después de x, o si es positivo antes de x, tiene que ser negativo después de x. Así que vamos a probar fuera. Así que lo primero que debemos hacer es encontrar estos puntos de candidato.

Recuerde, los puntos del candidato son donde el segundo derivada es igual a 0. Nos vamos a encontrar esos puntos y luego ver si esta es cierto que el signo cambia realmente. Queremos encontrar donde esta cosa aquí es igual a 0. Y una vez más, para que esto sea igual a 0, el numerador tiene que ser igual a 0.

Este denominador nunca puede ser igual a 0 si estamos tratando con los números reales, y creo que es una suposición razonable. Así que vamos a ver dónde nuestro numerador puede ser igual a 0 para la segunda derivada. Así que vamos a establecer el numerador de la segunda derivada. 27 veces 12 x al cuadrado menos el sexto 4 x es igual a 0.

Recuerde que es solo el numerador de nuestra segunda derivada. Está haciendo cualquier x que hace el numerador 0 la segunda derivada 0. Así que vamos a factor fuera un x 4 al cuadrado.

Por lo tanto 4 x al cuadrado. Ahora vamos a tener 27 veces, si nos factor 4 de los 12, veremos acaba de obtener un 3, y hemos incluido fuera la x al cuadrado, menos nos incluido el 4, factorizado fuera una x al cuadrado, por lo que tenemos x el cuarto es igual a 0. Tan bien, satisfará la x que esto hará igual a 0 Podrá cambiar de colores, o bien 4 x al cuadrado es igual a 0, o, ahora 3 27 veces, puedo hacerlo en mi cabeza.

Es 81. 20 veces 3 es 60, 3 veces 7 es 21, 60 plus 21is 81. O 81 menos x a la cuarta es igual a 0. Cualquier x que satisface cualquiera de ellos hará esto toda expresión igual a 0.

Porque si esta cosa es 0, todo esto es va a ser igual a 0. Si esta cosa es 0, se va todo a ser igual a 0. Permítanme ser claro, esto es 81 allí.

Así que vamos a resolver esto. Esto va a ser 0 cuando x es igual a 0, en sí mismo. Esto va a ser igual a 0 cuando x, vamos a ver.

Si a?adimos x al cuarto a ambos lados, se obtiene x el cuarto es igual a 81. Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de este, obtendrá x cuadrado es igual a 9, o para obtener x es más o menos 3. x es igual a más o menos tres.

Estos son nuestros puntos de inflexión del candidato, x es igual 0, x es igual a más 3 o x es igual a menos 3. Así que lo que tenemos que hacer ahora, es ver si el segundo derivado cambia signos alrededor de estos puntos para poder capaz de etiquetarlos puntos de inflexión. Así que ?qué ocurre cuando x está ligeramente por debajo de 0? Así que vamos a tomar la situación, vamos a hacer todos los escenarios.

?Qué ocurre cuando x está ligeramente por debajo de 0? No todos ellos, necesariamente, pero si x es igual que 0,1. ?Qué va a hacer la segunda derivada? Si x es 0,1, o si x es menos 0,1, este término es va a ser positivo y esto va a ser de 81 menos 0,1 al cuarto. ?Así que va a ser un número muy peque?o, derecho? Así que va a ser un número positivo veces 81 menos un peque?o número.

Por lo tanto va a ser un número positivo. Cuando x es menor que 0 o sólo ligeramente inferior a 0, nuestros segunda derivada es positiva. Ahora, ?qué ocurre cuando x es ligeramente más grande? Cuando escribo esta notación, quiero ser cuidadoso, es decir, realmente, sólo justo por debajo de 0. Ahora cuando x está justo por encima de 0, ?qué sucede? Digamos x fue 0,01, o 0.

1, 0.1 positiva. Bueno, va a ser lo mismo. Porque en ambos casos, estamos cuadratura, y nos estamos tomando la cuarta.

Así que tipo de estás perdiendo su información de inicio de sesión. Así que si x es 0.1, esta cosa va a ser un peque?o número positivo.

Vas a ser restar un número positivo muy peque?o 81, pero menos 81 va aún un peque?o número a ser positivo. Por lo que vas a positivo veces un positivo, por lo que su segunda derivada todavía va a ser mayor que 0. Por lo tanto algo interesante aquí.

f en su segunda derivada es 0 cuando x es igual a 0, pero no es un punto de inflexión. Porque el anuncio, no cambia la concavidad alrededor del 0. Nuestra segunda derivada es positiva ya que nos acercamos a 0 de la izquierda y la positiva que nos acercamos a 0 desde la derecha.

Así que en general, a 0, siempre estamos, como estamos cerca de 0 de cualquier dirección, vamos a ser cóncava hacia arriba. Por lo tanto el hecho de que 0 es un punto crítico, y que estamos siempre cóncava hacia arriba, a medida que nos acercamos a 0 por ambos lados, Esto nos dice que este es un punto mínimo. Porque somos cóncavas hacia arriba alrededor de 0.

0 No es un punto de inflexión. Vamos a ver si son positivos y negativos 3 puntos de inflexión. Y si uno estudia esta ecuación, déjame escribir nuestro–y en realidad, sólo quiero ser clara. Sólo he estado usando el numerador de la segunda derivada.

El segundo conjunto derivado es esto aquí, pero has sido ignorando el denominador porque el denominador siempre es positivo. Así que si estamos tratando de entender si las cosas son positivo o negativo, realmente tenemos que determinar Si el numerador es positiva o negativa. Porque ahí esta expresión siempre es positiva. Es algo que la segunda potencia.

Así que vamos a probar si tenemos un cambio en la concavidad alrededor de x es igual a positivo o negativo de 3. Así que recuerde que el numerador de nuestra, permítanme simplemente reescribir nuestra segunda derivada, sólo para verla aquí. f primer primo de x. El numerador es esta cosa aquí.

Es 4 x cuadrado veces 81 menos x a la cuarta. y el denominador era aquí, x a la cuarto además 27 cuadrado. Esa fue nuestra segunda derivada. Vamos a ver si esto cambia signos alrededor de positivo o negativo de 3.

Y en realidad, debemos obtener la misma respuesta, porque independientemente de si nos ponen positivas o negativa 3 aquí. perderá toda su información de inicio de sesión porque eres tomando a la cuarta potencia, está tomándolo a la segunda potencia. Y obviamente, nada a la cuarta potencia siempre se va a ser positivo, todo a la segunda potencia es siempre va a ser negativo.

Cuando hacemos nuestra prueba, si es cierto para 3 positivos, tiene probablemente va a ser cierto para negativo 3 así. Pero vamos a simplemente probarlo. Cuando x es apenas un poco menos de 3 positivo, lo que de ?el signo de f primo primo de x? Así que va a ser 9 4 veces, o va a ser 4 veces un número positivo.

Podría ser como 2.999, pero esto es todavía va a ser positivo. Así que esto va a ser positiva cuando x se aproxima a 3, y entonces esto va a ser, bueno, si x es 3, esto es 0, por lo que x es un poco menos de 3.

Si x es un poco menos de 3, si es como 2.9999, esto número va a ser menos de 81, así que esto es también va a ser positivo. Y por supuesto, el denominador es siempre positivo.

Así como x es inferior a 3, se acerca desde la izquierda, Somos cóncavas hacia arriba. Va de esto a ser un positivo. Entonces primer primo f es mayor que 0. Estamos arriba, cóncava hacia arriba.

Cuando x es apenas mayor que 3, ?qué va a pasar? Pues bien, este primer término todavía va a ser positivo. Pero si x es apenas mayor que 3, x a la cuarta va a ser sólo más de 81 y por eso, este segundo mandato va a ser negativo en esa situación. Permítanme hacer ina nuevo color.

Va a ser negativo cuando x es mayor que 3. Porque esto va a ser más de 81. Así si es negativo y esto es positivo y, a continuación, el conjunto lo que va a ser negativo, porque este denominador es todavía va a ser positivo. Así entonces primer primo f va a ser menor que 0, por lo que estamos va a ser cóncava hacia abajo.

Uno último. ?Qué ocurre cuando x es igual a más menos 3? Por lo que acaba de ser superior al menos 3, que como menos 2.99999.

Así que cuando lo llevas menos 2.99 cuadrados, vas a obtener un número positivo, por lo que esto va a ser positivo. Y si usted toma menos 2.99 al cuarto, que va a ser ?un poco menos de 81, correcto? Porque 2.

99 al cuarto es un poco menos de 81, tan Esto todavía va a ser positivo. Así que tienes un positivo veces un positivo dividido por un positivo por lo que vas a ser cóncava hacia arriba, porque su segundo derivado va a ser mayor que 0. Cóncava hacia arriba.

Y, a continuación, finalmente, cuando x es igual, sólo menos de negativos 3, recuerda que cuando escribo esto, no me refiero a todos x mayor que 3 negativos, o todos x menor que 3 negativos. No hay realmente ninguna, bueno, puedo pensar la notación decir simplemente, como sólo abordamos tres en este caso, desde la izquierda, pero ?qué pasa si vamos sólo a menos 3.11? ?O 3.01, supongo que es mejor, o 3.

1? Pues bien, este término aquí va a ser positivo. Pero si tomamos menos 3.1 a la cuarta, que va a ser ?más de 81 positivo, derecho? El signo será positivo, sería más grande que 81, por lo que Esto convertirá en negativo. Así que en ese caso, tendremos un momento positivo un negativo dividido por un positivo, así que entonces nuestra segunda derivada va a ser negativo.

Y así vamos a estar abajo. Así que creo que estamos listos para trazar. lo primero de todo, es x plus o ?menos 3 puntos de inflexión? Seguro! Al acercarnos a la x es igual a 3 por la izquierda, somos cóncavas hacia arriba, y luego como cruzamos 3, la segunda derivada es 0.

0 De la segunda derivada, he perdido aquí. La segunda derivada es 0. Y luego, como vamos a la derecha de 3, nos convertimos en cóncava hacia abajo. Por eso nos pusimos nuestro cambio de signo en la segunda derivada.

Por lo que x es igual a 3. 3 Es definitivamente un punto de inflexión y la mismo argumento podría hacerse para 3 negativos. Nosotros cambiar signos como cruzamos 3.

Así que definitivamente son puntos de inflexión. Sólo así obtenemos las coordenadas exactas, vamos a averiguar ?Qué f 3 es, o f 3 positivos y negativos. Y entonces estamos listos para el gráfico.

Así que ante todo, sabemos que f, sabemos que el punto 0, 3.29, que esto era un mínimo. Porque 0 fue un punto crítico, la pendiente es 0 y porque es cóncava hacia arriba alrededor de 0.

Tan 0 definitivamente no es un punto de inflexión. Y, a continuación, sabemos que los puntos positivos 3 y menos 3 son puntos de inflexión y a fin de averiguar su coordenadas, y sólo podemos evaluarles. Lo realmente van a tener las mismas coordenadas y, porque si pones una minus3 o 3 positivos y llevarlo a la el cuarto poder, vas a obtener lo mismo. Vamos a averiguar lo que son.

Si tomamos 3 a la cuarta potencia, eso es lo que, 81. 81 plus 27 es igual a 108 y, a continuación, queremos tomar el registro natural de ella. Digamos 4.

7, sólo para obtener una idea aproximada. Que ‘ s4.7.

Y eso es válido si hacemos 3 positivos o negativos, porque tomamos a la cuarta potencia. Por lo que es 4.7, 4. Estos son dos puntos de inflexión.

Y deberíamos estar preparados para lo gráfico! Vamos a gráfico lo. Muy bien. Permítanme llamar mi eje, justo como ese.

Y esta es mi eje, esta es mi eje x, esto es y. Puede incluso llamarlo la f de x eje, si lo desea. Esto es x.

Y por lo tanto el punto 0, 3.29. Digamos que se trata de 1, 2, 3, 4, 5, hasta el punto 0, 3.

Es 0, 1, 2, 3, un poco por encima de 3, es justo ahí. Ese es el punto mínimo. Y entonces estamos cóncavas.

La pendiente es 0 ahí, pensamos que, debido a la primera derivada fue 0 allí. Así que es un punto crítico y es cóncava hacia arriba alrededor de allí. Por lo que nos dijo arepoint en un punto mínimo, justo ahí.

Y luego en positivo 3. Por lo tanto 1, 2, 3. 3 Positivo, 4.

Tan 4.7 será algo parecido. Tenemos un punto de inflexión.

Antes de eso, estamos cóncavas hacia arriba y, a continuación, después de que Estamos cóncavas hacia abajo. Por lo que se ve algo como esto. Por lo tanto estamos cóncavas hacia arriba hasta con hasta ese punto.

Quizás, en realidad, debería, me deja ignorar ese amarillo lo que llamé antes. Permítanme deshacerse de eso. Permítanme se?alar como 1, 2, 3.

3, 4.7 ve eso y menos 3, 4.7, 1, 2, 3, 4.

7 parece. Por lo que sabemos en 0, estamos pendiente de 0 y estamos cóncavas hacia arriba, por lo que este aspecto. Estamos cóncavas hacia arriba, hasta que x es igual a 3. Y en x es igual a 3, hemos convertido en cóncava hacia abajo, y Vamos, permítanme intentar mi mejor esfuerzo para dibujar bien y nos se apaga como ese.

Y entonces estamos cóncavas hacia arriba alrededor del 0, hasta que consigamos, estamos cóncava hacia arriba como x es superior al menos 3, y luego en menos 3 hemos vuelto cóncavas hacia abajo. Tal vez debo hacer de ese color. Este cóncavo hacia abajo aquí, que es esto, aquí. Es que, justo ahí.

Y este cóncavo hacia abajo, aquí–perdón, quise decir hacerlo en color rojo–esto cóncava hacia abajo derecha aquí, existe este derecho. Y entonces es allí el cóncavo hacia arriba alrededor del 0. Incluso podría imaginar, esto cóncava hacia arriba que nosotros mide, que es esto, cóncavo hacia arriba y luego esto cóncava hacia arriba es.

Y, a continuación, alrededor de 0, estamos siempre hacia arriba. Así que esta es mi sentido de lo que se verá el gráfico tal y como va solo saben se convierte en bien podría pensar lo que hace es infinito positivo o negativo, acerca a x algunos de los términos, pues bien, no entro en que. Pero vamos a probar si nos hemos injertado correctamente utilizando una calculadora gráfica. Así que permítanme bajarme mi TI-85, trusty TI-85, y vamos a gráfico de este incauto.

Todos los derechos, prensa gráfica. y es igual al registro natural de x a la cuarta plus 27. Todos los derechos, se desea éxito ese gráfico allí.

Para que segundo, gráfico. Y vamos a cruzar los dedos. Parece bastante bueno! Parece que casi exactamente lo que nos atrajo. Creo que nuestro pensar nuestra matemáticas fue correcta.

Esto fue realmente muy satisfactorio. Así que esperemos se apreciar la utilidad de flexión puntos y el segundo derivado y primera derivada, en algunas de estas funciones gráficas.

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