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Digamos que estamos trabajando en tres dimensiones. y tenemos una función rho que es función de X,Y,Z y nos dá la densidad de masa en cualquier punto en las tres dimensiones, de un fluido.

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Conceptual understanding of flux in three dimensions Multivariable Calculus

Un fluido en particular tal vez es un gas, o un fluido, …agua.

Quién sabe? Un tipo de sustancia. Nos dá la densidad de masa en cualquier punto en tres dimensiones. y digamos que tenemos otra funcion.

Esta es una función escalar y nos dá un número para cualquier punto en 3D (tres dimensiones) y luego, digamos que tenemos otra función V, que es un vector función. y nos dá un vector para cualquier punto en tres dimensiones. y esto de aquí, nos está diciendo la velocidad del mismo, la velocidad del mismo fluido o gas o de lo que sea que estemos hablando.

Ahora imaginemos otra función y esto nos lucira algo familiar, porque lo hicimos, atravéz de un ejercicio muy similar en dos direcciones cuando hablamos de las integrales. Ahora solo nos estamos extendiendo a tres dimensiones. Digamos que tenemos una función, F. Digamos que tenemos una función, F.

y es igual a el producto el producto de rho y V. y por cualquier punto en (x,y,z) nos dará un vector, y luego lo multiplicaremos por este escalar, de aquí por el mismo punto en tres dimensiones. así que es igual a: Rho veces V.

vamos a usar el mismo color que usé antes para V y hay varias formas en las que puedes conceptualizar esto, así que podemos ver esto como, Obviamente se mantiene la dirección y la velocidad, pero ahora su magnitud una manera de ver esto es como la densidad del momento. y si eso no tiene mucho sentido, no tienes que preocuparte mucho de eso. con suerte, como usamos estas dos funciones, y hablamos y pensamos un poco más acerca de sus superficies relativas, esto tomará un poco mas de sentido conceptual. Ahora, lo que quiero hacer es pensar en lo que significa lo que significa dada esta función, F, para evaluar la superficie integral sobre alguna superficie.

así que vamos a evaluar sobre alguna superficie. vamos a evaluar F vamos a evaluar F punto N, donde N es una unidad normal al vector en cada punto de su superficie, dS. d- Superficie. Pensemos en lo que nos está diciendo.

Primero, permitanme dibujar mis coordenadas. tengo mi coordenada Z esta puede ser. vamos a hacer esta. mi coordinada X y vamos a decir que esta de aquí es mi coordinada Y y digamos que mi superfice voy a usar el mismo color Mi superficie se vé algo así.

así que esta es mi superficie. esta es la superficie en cuestión. Esta es S.

Ahora pensemos en las unidades, y con suerte esto nos dará el entendimiento conceptual de qué, esto de aqui esta midiendo. es completamente análogo a lo que hicimos en el caso de dos dimensiones con la integral de una linea. Así que tenemos a dS.

dS es este trozo de área de la superficie. así que esto es dS. Esto va a ser el área. y si queremos romper esto es.

Queremos tomar tomar unidades particulares esto podria ser metros cuadrados metros cuadrados. y creo que cuando tomamos unidades particulares, comienza a tener un poquito mas de sentido concreto. ahora, el vector normal en ese ds.

El vector normal va a apuntar, justo aqui es literalmente normal al plano. es literalmente normal al plano. y su magnitud es 1. asi que esa es la unidad normal del vector.

y F esta definida atravez de este espacio tridimensional. me das cualquier punto (X,Y,Z) y voy a saber cual sera la densidad de su masa, voy a saber su velocidad, y voy a tener cualquier F. y voy a tener cualquier F en cualquier punto en un espacio tridimencional.

incluyendo dentro de la superficie. incluyendo justo aquí. justo aquí, F seria algo, como esto. así que este es F justo en este punto.

justo en este punto. así que, Qué significa todo esto? bueno cuando tomas el producto punto de dos vectores, esto es escencialmente diciendo, Qué tan juntos van? y desde n es una unidad vector hasta que tiene magnitud 1, esto es, escensialmente diciendo Cúal es? Cúal es la magnitud? de la componente de F. que va en dirección n? o la componente.

o. Cúal es la magnitud? de la componente F eso es Normal a la superficie? o, Qué tanto es normal a la superficie? así que la componente de F que es normal a la supercie se verá algo como. algo como. Como esto.

Se vera algo como esto y esto de aquí será escensialmente la magnitud de esto. y va a tomar va a tomar las unidades de F, N, justo aqui, solo especifica una dirección. no tiene unidades asociadas con ella. sus dimensiones.

F’s unidades van a ser unidades de densidad de masa, asi que podria ser va a ser digamos que va a ser Kilogramos por metro cúbicos. eso es. bueno esto es solo la parte de Rho.

así que su densidad de masa veces la velocidad. veces metros por segundo dejame escribirlos en estos colores. así que tenemos claro lo que esta pasando aqui. así que las unidades de F va a ser unidades de Rho, que seran Kilogramos por Metro cúbico Eso es densidad de masa.

veces las unidades de V que es metros por segundo Metros por segundo. y vamos a multiplicar esto veces metros cuadrados así que lo que tenemos es tenemos un metro luego un metro cuadrado en el numerador eso es metros cúbicos en el numerador. y metros cúbicos en el denominador.

que se cancelan entre sí. y las unidades que tenemos de esto la unidades que tenemos de esto es Kilogramos por Segundo y la manera de conceptualizarlo dado que hemos definido F cuando decimos lo que F representa La manera de conceptualizarlo es diciendo, Cuanta masa dada dá la densidad de masa, esta velocidad va directamente fuera de esta peque?a dS, esta peque?a “infinitesimal” trozo de supercie en un momento dado de tiempo? y luego, si a?adimos a esto todo ds y es escencialmente lo que la superficie integral es, estamo diciendo escencialmente, “Cuanta masa en kilogramos por segundo, hemos tomado. Cuanta masa esta viajando atravez de la superficie en cualquier momento de tiempo dado? y esto es realmente la misma idea que tenemos con la linea de integrales.

esto es escensialmente el flujo atravez de una superfice de dos dimensiones asi que esto es el flujo atraves de una superficen 2D y no es como algo loco, algo abstracto. o digo, puedes imaginarte, tu sabes, puedes imaginarte algo como vapor de agua en tu ba?o vapor de agua en tu ba?o. y me gusta imaginarlo de ese modo, porque es actualmente visible, especialmente cuando los rayos de sol lo atraviezan.

y todos hemos visto el vapor de agua atravez. vapor de agua en nuestro ba?o cuando hay rayos de sol, y puedes ver como las particulas como las particulas estan viajando. y tu ves que tienen cierta densidad en puntos distintos. asi que te puedes imaginar puedes imaginarte que te importa esa superficie.

la superficie de tu. talvez tienes una ventana. quizas tienes una ventana en tu ba?o así que tienes una ventana y entonces, si tu. si la superfice fuera una ventana, y la ventana y digamos que la ventana esta abierta así que es como si no hubiera nada fisico alli.

y es como una superfice rectangular que para libremente atravez si. y F es escencialmente la densidad de masa del el vapor de agua veces la velocidad del vapor de agua, luego esto de aqui te dirá, la masa del vapor de agua que esta viajando atravez de esa ventana en cualquier momento dado de tiempo. y otra manera de pensarlo seria. imagina imagina un rio y voy a conceptualizar un rio es como solo la sección de un rio y voy a conceptualizarlo es como.

un rio. obviamente esta es la superficie. que normalmente vemos, pero obviamente no tiene profundidad.

esta es naturalmente en tres direcciones. y podemos saber la densidad. quizas es constante.

tu sabes la densidad, y sabes la velocidad. en cualquier punto eso es lo que F no dá. y eso nos dice.

como decimos, podemos ver eso como el momento de densidad en cualquier punto de tiempo dado. y quizas nuestra superficie es algun tipo de malla. nuestra superficie es un tipo de malla. y la malla no tiene que ser necesariamente rectangular.

podria ser una forma rara de malla. pero yo lo haré rectangular, porque es mas facil de dibujar. es un tipo de malla que no impide el flujo en ningun sentido. de el fluido una vez mas, cuando evaluas esta integral, te dirá la masa del fluido que está fluyendo atravez de la malla.

a cada momento de tiempo dado. y con suerte, esto tiene un poco de sentido conceptual ahora. en los proximos videos, vamos a pensar acerca de como como calcular esto, como podemos representarlo en diferentes maneras.

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