descargador de youtube “Double integrals 3 Double and triple integrals Multivariable Calculus”

En el último video encontramos el volumen entre esta superficie, que era xy cuadrada y el plano xy cuando x iba de 0 a 2 y la y de 0 a 1. Y la forma en que lo hicimos fue integrar con respecto a x primero.

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Double integrals 3 Double and triple integrals Multivariable Calculus

Tomamos una y, y averiguamos el area debajo de la curva. Y entonces integramos con respecto a x primero, y luego integramos con respecto a y Pero pudimos haberlo hecho al revés. Así que hagámoslo y verifiquemos si tenemos la respuesta correcta. Así que borraré algo de esto Recuerden, nuestra respuesta fue 2/3 cuando integramos con respecto con x primero, y luego con respecto a y.

Pero les voy a mostrar que podemos integrar al revés. Es bueno cuando se puede obtener la misma respuesta de dos maneras diferentes. Voy a redibujar la gráfica porque quiero darles la intuición otra vez.

Ahí está mi eje x, el eje y, el eje z x, y, z Y aquí está mi plano xy. Aquí abajo la y va de 0 a 1; x de 0 a 2, esto es x igual a 1, igual a 2, y igual a 1, y ahora la gráfica– La dibujaré lo mejor que pueda. Luce bien– voy a poner un poco de contraste.

Y la gráfica queda así. A ver si la puedo dibujar. De este lado se ve así y luego baja así, derecha Luego, el volumen que nos interesa. Es, de hecho, el volumen debajo de la gráfica Esta es la parte de arriba de la superficie en ese lado.

Nos interesa el volumen debajo de la superficie. Y luego, cuando dibujamos la parte de abajo de la superficie — la pintaré con un color más oscuro — se ve algo así. Está es la parte debajo de la superficie.

Incluso la puedo sombrear un poco para mostrarles que es lo de abajo. Espero que sea una presentación cercana de eso. Echemos un vistazo a lo que teníamos antes. Es como un página que estoy volteando hasta este punto, y nos interesa este volumen, el área coloreada de abajo.

Averigüemos como hacerlo. La última vez integramos primero con respecto a x Ahora, integremos con respecto a y primero. Mantengamos x constante.

Si mantenemos la x constante, lo que podríamos hacer es, para una x dada — escojamos una x. Escojemos una x, digamos aquí, x = 1 Ahora, lo que podemos hacer, por cada x dada, puedes ver las funciones de la x y de la y. si la x es una constante, vamos a decir que si la x es igual a 1 entonces la z solamente es igual a una y quadrada. es facil figurar la parte de abojo porque podemos ver que x no es una constante pero podemos tratarla como una constante.

por ejemplo, por cada x dada, tendrimaos una curva como esta. lo que podriamos hacer es que podriamos tratar de figurar la area de esta curva primero. pero como hacemos eso? bueno, acabamos de decir ke podrimaos ver esta funcion aqui arriba como z es igual a xy cuadrado porque eso es exsactamente lo que es. pero tenemos la x como constante.

la estamos tratando como constante. para optener esa area podriamos tomar una dy, un cambio en y, multiplicar eso por la altura, cual es xy cuadrado. entonces tomamos la xy cuadrado y lo multiplicamos por dy, y luego si queremos esta area entera la integramos de y es igual a 0 a y es igual a 1 justo suficiente.

ahora que tenemos esa area, si quieres el volumen de abajo lo que podemos hacer es que podemos multiplicar esta superficie entera esta area por dx y agarra un poco de ondo dejame escojo un color bonito bueno eso es nuestro dx. entonces si multiplicamos eso por dx tendriamosun poco de hondudes dejame hacerlo en un color mas oscuro, agarra un poco de contrasto. unas veces me siento como el muchacho que sale en PBS. ahora tenemos el volumen de esto, kasi lo puedes ver – el area debajo de la curva por dx, para que podramos optener un poco de hondudad.

bueno es por dx. y si queremos averiguar el volumen entero que esta debajo de esta superficie–por enmedio de la superficie y el plano xy restricción a nuestro dominio–sólo integramos desde x es igual a 0 a 2. Todos los derechos, así que vamos a pensarlo. Esta área verde aquí que empezamos con debe ser una función de x.

Llevamos a cabo x constante pero dependiendo de qué x elige Esta área va a cambiar. Cuando evaluamos esta magenta integral interior con respeto y debemos obtener una función de x. Y entonces cuando usted evaluar todo veremos obtener nuestros volúmenes. Así que vamos a hacerlo.

Vamos a evaluar esta integral interior. Mantenga pulsado x constante. ?Qué es la primitiva de y al cuadrado? La y la tercera sobre 3. La x es una constante, ?verdad? Vamos a evaluar en 1 y 0.

El exterior integral es todavía con respecto a x dx. Esto es equivalente a–vamos a ver. Al evaluar y es igual a 1 obtendrá 1 para el tercero. Es 1.

Por lo que es x / 3 menos cuando es 0 entonces ese todo lo justo se convierte en 0. Esta expresión púrpura es sólo x / 3. Y luego tenemos la integral exterior de 0 a 2 dx. Así que dado lo x tiene, el área de esta superficie verde– fue donde empezamos.

Dado cualquier x dado, esa área–quería algo con algunos contraste. Esta área es x / 3 según x usted escoja. Si x es 1, esta área aquí es 1/3.

Pero ahora vamos a integrar debajo de todo el la superficie y obtener nuestro volumen. Y como he dicho, cuando integran es una función de x. Así que vamos a hacer eso. Y esto es simplemente viejo vainilla, norma integral.

?Qué es la primitiva de x? Es x al cuadrado más 2. Tenemos un 1/3 allí por lo que es igual a x al cuadrado más de 2 veces 3. Tan x al cuadrado más 6.

Y vamos a evaluarlo en 2 y en 0. 2 al cuadrado más 6 es 4/6. Menos 0/6, que es igual a 0. Es igual a 4/6.

?Qué es 4/6? Bien, es la misma cosa como 2/3. El volumen bajo la superficie es de 2/3, y si visto el video anterior usted apreciará el hecho de que cuando Hemos integrado al revés, cuando lo hicimos con respetar primero a x y luego y, tenemos la misma respuesta exacta. Por lo que el universo está en perfecto estado de funcionamiento. Y me has sorprendentemente, realmente esto terminado video con tiempo extra.

Modo por diversión, podemos simplemente girar este gráfico y sólo apreciar el hecho de que nosotros hemos averiguado el volumen entre este superficie, xy cuadrado y el plano xy. Bastante limpio. De todas formas, nos vemos en el siguiente vídeo.

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