descargador de youtube “Example of closed line integral of conservative field Multivariable Calculus”

Veamos si podemos aplicar alguna de nuestras nuevas herramientas para solucionar una integrales. Así que vamos a decir que tenemos una integral de línea a lo largo de una curva cerrada –Voy a definir la ruta en un segundo–de x cuadrado Plus y cuadrado por dx más 2xy por dy.

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Example of closed line integral of conservative field Multivariable Calculus

Y entonces nuestro c curva va a ser definido por la parametrización. x es igual al coseno de t, y y es igual al seno de t. Y esto es válido para t entre 0 y 2 pi.

Esto es básicamente un círculo, un círculo de unidad, en la xy plano y sabemos cómo resolverlas. Vamos a ver si podemos utilizar algunos de nuestros descubrimientos en los últimos par de videos para tal vez simplificar este proceso. Así que lo primero que usted podría decir: bueno, esto parece un integral de línea, pero hay un dx y dy, no veo un punto dr aquí.

No está claro para mí que esto es algún tipo de incluso una línea de vector integral. No veo de cualquiera de los vectores. Lo que quiero hacer en primer lugar y la razón de por qué quería mostrar en este ejemplo, es sólo para mostrar que esto es sólo otra forma de escribir realmente una integral de línea del vector.

Para demostrar que usted sólo para darse cuenta si tengo algunos r o t–esta es nuestra curva. Incluso que no escribo estas funciones allí. Sólo voy a escribir es x t veces me Además y de t veces j. Hemos visto varios videos ahora que podemos escribir dr dt como siendo igual a dx dt veces i más dy dt veces j.

Hemos visto este varias veces. Hemos visto varias veces quiere obtener el diferencial dr, podemos simplemente multiplicamos todo momento dt. Y normalmente acabo de poner un dt aquí y allí un dt y deshacerse de este dt. Pero si se multiplica todo el tiempo dt, si ver el las diferencias como las cifras reales, puede multiplicar y normalmente puede tratarlos como ese.

Entonces sólo usted deshacerse de todos los dt Así que es igual a dx veces la unidad dr que podría imaginar Vector además dy veces la unidad vector j. Así que poner podría ya aparte y le ver un patrón aquí. Por lo tanto si definimos nuestro vector campo f, f de xy, como es igual a x al cuadrado más cuadrado y, lo más 2xy j, ?Qué es esto? ?Qué es esta cosa aquí? ?Bien, qué es f punto dr va a ser? Productos de punto, usted sólo multiplica los componentes correspondientes de los vectores y, a continuación, agregarlos.

Así que va a ser si tomar este f y salpican con ese Dr. vas a obtener la i componente, x al cuadrado más y cuadrado veces ese dx plus–lo haré en la rosa nuevamente– Además el componente y el j componente 2xy veces dy. Es el producto de punto. Y aviso, esta cosa aquí es idéntica a la derecha esa cosa ahí.

Así que nuestra línea integral, para ponerlo en un formulario que estamos familiarizado con esto es exactamente lo mismo que la línea integral sobre este c curva, esta curva cerrada c, de esta f –tal vez voy a escribir en ese color magenta, o en realidad es más de un color púrpura o rosado–f salpican este dr. Eso es lo que esta línea integral, es simplemente una diferente manera de escribirlo. Ahora que ves, en el futuro si ves en especie de esta forma diferencial, inmediatamente sabrás OK, hay campo de un vector que es su componente x, esta es su y componente, salpicaban con el dr.

Este es el componente x del Dr. o el componente, y esto es el componente y o j componente de la RD. Así que inmediatamente lo que sabe el campo vectorial es que nos estamos tomando una línea integral de.

Se trata de la x, que es la y. Ahora, vamos a hacernos una pregunta. ?Es conservador f? Por lo que es igual a f al degradado de algún campo escalar, veremos ?llamar capital F–este es el caso? Así que vamos a asumir es y ver si podemos resolver para un escalar campo cuyo grado es realmente f. Entonces sabemos que f es conservador.

Y entonces si f es conservador, y esto es toda razón nos quiero hacerlo, eso significa que cualquier cierre bucle, cualquier línea integral sobre una curva cerrada de f va a ser igual a 0 y se hará. Así que si podemos demostrar esto entonces la respuesta a esta pregunta o esta pregunta va a ser 0. Aún no tenemos a meterse con el coseno de es y el signo de es y todo eso. En realidad, incluso no tener que tomar primitivas.

Así que vamos a ver si podemos encontrar una f cuyo gradiente es igual a la derecha. Por lo que a fin de degradado de f’s que, eso significa que el derivada parcial de nuestra capital que ha f con respecto a x llegó a ser igual a ese derecho allí. Tiene que ser igual a x más cuadrado y cuadrado. Y también nos dice que las derivadas parciales de capital F con respecto a y tiene que ser igual a 2xy.

Y sólo como un examen, si tengo el gradiente de cualquier función, de cualquier campo escalar es igual al parcial de f con respecto x veces i más el parcial de capital f respecto a y tiempos j. Eso estoy sólo coincidencia. Sólo digo bien, caray, si este es el gradiente de, entonces esto que escribí aquí, y esto debe ser debe ser que escribí aquí abajo. Así que vamos a ver si puedo encontrar una f que satisfaga a ambos de estas limitaciones.

Tan sólo podríamos tomar la primitiva con respecto a x en ambos lados–recuerde que trata y como un constante o y cuadrado como una constante–es sólo un número. Así entonces podríamos decir que f es igual a la primitiva de x al cuadrado es x para la tercera más de 3. Y, a continuación, la primitiva y cuadrado–recuerda, Esto es con respecto a x.

Por lo que sólo trata como un número. Sólo podría ser el número k, o esto podría ser el número 5. Tan sólo esto va a ser veces x.

Así que además de x veces y cuadrado. Y, a continuación, podría haber alguna función y aquí. Así que además de algunos, no sé, lo llamaremos g de y.

Porque podría ha habido alguna función y aquí. Si es una función pura y, al tomar la derivada o el parcial con respecto a x, esto habría desaparecido. Así podría reaparecer cuando tomamos la primitiva. Y sólo ser claros, permítanme dejar claro que f se va ser una función de x e y.

Así que sólo tenemos, supongo que podría decir la primitiva con respecto a x. Vamos a ver si nos tomamos la primitiva con respecto a y y luego nos podemos conciliar los dos. Según este, f de xy, f de xy va a tener que buscar como–así que vamos a tomar la primitiva con respecto a y aquí. Recuerde que tan sólo tratas x como es sólo cierto número– podría ser un k, podría ser una m, podría ser un 5.

Es sólo un número. Así que si x es algunos–la primitiva de 2y es y cuadrado. Y si x es un número, la primitiva de sólo esto con respecto a y va a ser xy cuadrado. ?No me creen? Tomar el parcial de este con respecto a y.

Tratar x como una constante obtendrá 2 veces xy con ningún exponente allí. Y, por supuesto, si usted tomó la primitiva con respecto a x, puede haber alguna función de x aquí. Sólo estábamos basando fuera de esa información. Ahora dado, esta información dice f de xy va a tener que buscar algo como esto.

Esta información nos dice f de xy va a tener que mirar algo parecido. Vamos a ver si hay una f de xy que parece ambos esencialmente. Así que vamos a ver.

En este caso tenemos xy cuadrado aquí, tenemos un xy cuadrado allí. Muy bien. Se ve bien. Y aquí tenemos una f de x–tenemos algo de más es una función pura de x.

Y aquí tenemos algo que es una función pura de x. Así que estas dos cosas podrían ser la misma cosa. Entonces, aquí tenemos una función pura y que podrían ser allí, pero no realmente en cualquier lugar aquí.

Así podríamos simplemente decir hola, va a ser 0. 0 es una función pura de y. Usted podría tener algo llamado g de y es igual a 0.

Y, a continuación, obtenemos ese capital f de xy es igual a x a la en tercer lugar con 3 más xy cuadrado. Y el gradiente de esto va a ser igual a f. Y que ya hemos establecido. Pero sólo para golpear el punto de inicio, tomemos el degradado de la misma.

Sólo si no creen esto poco hice derecho allí, vamos a tomar el degradado. El gradiente de f es igual a, y a veces la gente poner un poco vector allí porque está obteniendo un vector de la misma. Podría poner un vector poco por encima de ese signo degradado.

?El gradiente de f va a ser lo que? El parcial de este con respecto a x veces yo. Así, los parciales de este con respecto a x. El derivado aquí es 3 dividido por 3 es 1. Por eso, sólo x al cuadrado más la derivada de esto con respeto x es veces y cuadrado además el parcial con respecto a y.

Así, el parcial con respecto a y este 0, parcial con respeto y esto es 2xy o 2xy a la primera. Por eso, 2xy veces j. Y esto es exactamente igual a f, nuestro f que escribimos hasta allí.

Así que nos hemos establecido que definitivamente puede escribirse f–es f definitivamente el gradiente de algunas posibilidades de escalar función allí. F es conservador, así nos dice que esta cerrada de bucle integral, línea integral de f va a ser igual a 0. Y terminamos. Incluso podíamos ignorar la parametrización de la ruta de acceso real.

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