descargador de youtube “Path independence for line integrals Multivariable Calculus”

Lo que quiero hacer en este video es encontrar una condicion rasonablemente poderosa en la cual pueda establecer que el campo vectorial, o la integral de linea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria Y cuando digo eso, lo que quiero decir es que si fuera a tomar esta integral de linea a lo largo de la trayectoria c de f producto punto dr, y digamos que mi trayectoria se ve asi. Ese es mi eje x y eje y, y digamos que mi trayectoria se ve algo como esto: Empiezo alla y voy por alla hasta el punto c.

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Path independence for line integrals Multivariable Calculus

Mi punto final, la curva aqui es c. Y asi podría evaluar esta integral de linea, este campo vectorial a lo largo de este trayectoria. Esta sería un campo vectorial independiente de la trayectoria, o nosotros lo llamamos campo vectorial conservativo, si esta cosa es igual a la misma integral sobre una trayectoria diferente que tiene el mismo punto final. Entonces llamemos esta c1, bueno esta es c1, y esta es c2.

Este campo vectorial es conservativo si empiezo en el mismo punto pero tomo diferentes trayectorias. Digamos que tengo algo asi: si tomo una trayectoria diferente– y esta es mi c2– sigo obteniendo el mismo valor. Lo que esto me esta diciendo es que todo lo interesa es evaluar estas integrales en mi punto de partida y mi punto de llegada. No interesa lo que yo haga en el medio.

No interesa como sali de mi punto de partida hasta mi punto de llegada. Estas dos integrales de linea tienen el mismo punto inicial y el mismo punto final, sin importar las influenciadas de su trayectoria real, ellas van a ser las mismas. Esto es lo que que necesita f para ser un campo conservativo, o lo que necesita esta integral para ser independiente de la trayectoria.

Entonces antes de probarles o demostrarles las condiciones, contruyamos nuestra caja de herramientas un poco mas. Quizas hayas o no visto aun la regla de la cadena para multivariables. La regla de la cadena de mutivariables. Y no lo voy a probar en este video, pero creo que sera muy intuitivo para ustedes.

Entonces tal vez no necesite tener que probarlo, o lo demostrare eventualmente, pero lo que realmente quiero es dejarles la parte intuitiva. Y todo lo que dice es que si tengo alguna función– digamos Tengo f de x y y, pero x y y son funciones de, digamos de una tercera variable, t, asi que f de x de t y y de t– que la derivada de f con respecto a t es multivariable. Tengo dos variables aca en x y y. Esto va a ser igual a derivada parcial de f con respecto a x.

Que tan rapido f cambia a medida que x cambia multiplicado por la derivada de ‘x’ con respecto a ‘t’ — Esto es una función de una sola variable por acá, así que derivadan en forma normal. Que tan rapido x cambia con respecto a t. Esta es una derivada estandar, esta es una derivada parcial, porque a ese nivel vamos a tratar con dos variables.

Y no hemos terminado. –mas que tan rapido f cambia con respecto a y por la derivada de y con respecto de t. Entonces dy/dt.

Y no voy a demostrarlo, pero creo que se hace bastante intuitivo. Ese es el decir, a medida que muevo un poco dt, cuanto de un df obtengo? O que tan rapido esta f cambia con respecto a t? Dice, bien hay dos formas de que pueda f cambiar: puede cambiar con respecto a x y puede cambiar con respecto a y. Entonces porque no adiciono esas dos cosas como si ambas cambiaran con respecto a t? Eso es todo es decir, y si se puede imaginar que pudieran cancelar esta derivada parcial de x con respecto de d x, y la derivada parcial de y con respecto de d y, se podrian imaginar que la derivadsa parcial de f con respecto a t en el lado de x de las cosas, y luego mas la parcial de f con respecto a t en la dimension de y.

Y luego les dara el cambio total de f con respecto a t. Un argumento algo insubstancial, pero al menos para mi esto es una formula muy intuitiva. Bueno esta es nuestra herramienta; la regla de la cadena para mutivariables.

Vamos a dejar de lado esto por un segundo. Ahora digamos que tengo un campo vectorial f– y es diferente de esta f, bueno lo hare en un color diferente; magenta– tengo un campo vectorial f que es una funcion de x y de y. Y digamos que resulta ser el gradiente de algun campo escalar. digamos igual al gradiente de un campo escalar Lo llamare F mayuscula.

Y este gradiente que significa que la F mayuscula es tambien función de x y de y– entonces no quiero escribirlo en una nueva linea, podría igualmente escribir aqui; F mayuscula es igualmente una función de x y de y — y el gradiente, y todo eso lo quiere decir es que el campo vectorial de f de xy–f minuscula de xy, es igual a la derivada parcial de la F mayuscula con respecto a x por el vector unitario i mas la derivada de F mayuscula con respecto a y por el vector unitario j. Esto es la definición del gradiente precisamente. Y si se imaginan que la F mayuscula es algun tipo de superficie– entonces esta es F mayuscula de xy — el gradiente F de xy va a ser un campo vectorial que les dice la dirección de el descenso mas pronunciado (inclinado) en cualquier punto.

Entonces sera definida por el plano xy. En el plano xy les dira– dejenme dibujar; es el eje vertical, quizas ese es el eje x, ese es el eje y — el gradiente de esto, si tomas cualquier punto sobre el plano xy, les dira la dirección en que necesitan viajar para ir hasta el descenso mas pronunciado (inclinado). Y para este gradiente va a ser algo como esto.

va a ser algo asi Y quizas por aqui empieza a ir en esa dirección porque descenderian hacia este peque?o punto minimo justo aqui. De todas maneras, no quiero involucrarme demasiado. Y el punto de esto no es realmente obtener la intuicion detras de los gradientes; existen otros videos para este proposito. El punto de este es obtener otra prueba para ver si algo es independiente de la trayectoria; si un campo vectorial es independiente de la trayectoria, si es conservativo.

Y resulta que si esto existe– y lo voy a demostrarlo ya–si f es el gradiente de algun campo escalar entonces f es conservativo. O podrían decir que no interesa que trayectoria sigamos cuando tomamos una integral de linea sobre f, lo que realmente importa son nuestro punto inicial y nuestro punto final. Ahora veamos si puedo demostrarles eso a ustedes.

Entonces empecemos por aceptar (suponer) de que f puede ser escrita de esta manera, como el gradiente, la f minuscula puede ser escrita como el gradiente de una F mayuscula. En este caso nuestra integral–bueno, definamos nuestra trayectoria primero. Nuestra funcion del vector posición–siempre necesitamos uno de esos para hacer la integral de linea o una integral de linea vectorial–r de t que va ser igual a x de t multiplicado por i mas y de t multiplicado por j con t que va entre a y b.

Han visto este muchas veces; esta es una definición basicamente de cualquier trayectoria en dos dimensiones. Y entonces vamos a decir que f de xy va a ser igual a esto: va a ser la derivada parcial de F mayuscula con respecto a x– estamos asumiendo que esta existe, que esto es cierto– multiplicado por i mas la derivada parcial de F minuscula con respecto a y por j. Ahora, dado esto que es la f minuscula punto dr que va a igualar sobre esta trayectoria por aca? Esta trayectoria esta definida por esta funcion de posicion por alla.

Bien, va a ser igual a , necesitamos resolver que dr es, y lo hemos hecho en varios videos. Lo hare sobre la derecha por aqui. dr, hemos visto esto en varias ocasiones.

En realidad, lo resolvere de nuevo. dr sobre dt por la definicion era igual a dx sobre dt por i mas– no se porque se porque se me cambio el calibre de esa manera –dy sobre dt por j. y eso es lo que dr sobre dt es. Si queremos resolver que es dr, la diferencial de dr, si queremos jugar con las diferenciales de esta forma, multiplicamos a ambos lados del dt.

Y en realidad voy a manejar el dt, lo multipliare; lo distribuire. Es dx sobre dt por dt i mas dy/dt por dt j. Estamos hablando del producto punto de f con dr, que vamos a obtener? que vamos a obtener? Esta va a ser la integral sobre la curva de– Escribire la c por alla; podemos escribir en terminos de los puntos final como t una vez que nos sintamos bien de que tenemos todo en terminos de t– pero va a ser igual a este punto que, es igual a– tratare de mantener los colores– la derivada parcial de F mayuscula con respecto a x por esa, multiplicada por dx sobre d t– voy a a escribir esto dt en un color diferente– por dt mas la derivada parcial de F mayuscula con respecto a y por– estamos multiplicando la las componentes de j, cierto? Cuando hacen el producto punto, multiplicar las componentes de i, y luego adicionarlas a lo que obtuvieron del producto de las componentes de j– esta componente parcial de j de F mayuscula con respecto a y, y luego tenemos la multiplicacion– cambiamos a amarillo– dy sobre dt por esa dt de alla.

Y luego podemos factorizar el dt. Podemos factorar el dt O mejor, no tengo que ni siquiera escribir esto de nuevo, ahora mismo Lo escribo sin, bien dejenme escribirlo de nuevo. Esto es igual a la integral.

Y digamos que lo tenemos en terminos de t; hemos escrito todo en terminos de t, entonces t va desde a hasta b, y por esto va a ser igual a– lo escribire en azul — la derivada parcial de F mayuscula con respecto a x por dx sobre dt mas– estoy distribuyendo este dt– mas la parcial de F mayuscula con respecto a y. dy sobre dt. todo eso multiplicado dt.

Esto es equivalente a eso. Ahora se pueden dar cuenta porque hable de la regla de la cadena para multivariables. Que es esto por aqui? Que es eso por alla? Pueden hacer que coincidan algunos patrones.

Eso es exactamente la derivada de F mayuscula con respecto a t. Miren esto; dejenme lo copio y lo pego solo para que lo puedan apreciar mejor (valorar). Entonces esta es nuestra definición, o esta es nuestra– no diria definición; en realidad alguien puede demostrarla. No tienes que empezar desde alla– pero esta es nuestra regla de la cadena para multivariables justo por aqui.

La derivada de cualquier función con respecto a t es la derivada parcial de esa función con respecto a x multiplicado por dx sobre dt mas la derivada parcial de esa función con respecto a dy sobre dt. Tengo la derivada parcial de F mayuscula con respecto a x por dx sobre dt mas la derivada parcial de F mayuscula con respecto a y. Esto y esto son identicos si solo reemplazan esta f minuscula con la F mayuscula.

Entonces esto en azul por aque, esto expresión completa es igual a la integral de t igual a hasta t igual a b de– en azul aqui– la derivada de f con respecto a dt. Y como lo evaluan– dejenme solo el dt en verde — como evaluan algo como esto? Solo quiero hacer un punto: esto es solo de la regla de la cadena para multivariables. Y como evaluamos una integral definida como esta? Bueno, tomamos la antiderivada de lo interior con respecto a dt Entonces que va esto ser igual? Toman la antiderivada de la parte interna, que es justo f.

Entonces esto es igual a f de t. Y permitanme aclarar. Escribimos antes que f es una función.

Nuestra F mayuscula es una función de x y y, que puedo igualmente escrita, ya que cada uno de estos son funciones de t, pudo ser escrito como f de x de t de y de t. Solo estoy re-escribiendolo en una formas diferentes. Y esto pudo ser escrito com f o t.

Estos son todos equivalentes, dependiendo si ustedes quieren incluir solamente la x?s o la y?s, o las t?s solamente, o ambas. Ya que las x?s y las y?s son funciones de t. Esta es la derivada de f con respecto a t.

Si esta fuera solo en terminos de t, esta es la derivada de eso con respecto a t. Tomamos su antiderivada, quedamos solo con f y nosotros tenemos que evaluarla desde t igual a hasta t igual a b. Y esto es igual a– y esto es la parte final de esta dificil actividad– esto es igual a f de b menos f de a. Y si quieren pensarlo en estos terminos, esto es la misma cosa.

Esto es igual a f de x de b sobre y de b– permitanme asegurarme tengo todos los parentesis — menos f de x de a sobre y de a. Estos son equivalentes. Me dan otro punto cualquiera sobre el planos xy, un x y una y, y me dicen donde estoy.

Esta es my F mayuscula, me da una altura. Justo asi. Este asocia un valor con cada punto sobre el plano xy.

Pero esto ejercicio completo, recuerden este es la misms cosa que esta. Esto es nuestra ejercicio que estabamos tratando de demostrar: eso es igual a f punto dr.f punto dr, nuestro campo vectorial, que es el gradiente de la F mayuscula — recuerde F era igual al gradiente de F, asumimos que es el gradiente de alguna función de F mayuscula, si ese es el cado, entonces justamente hicimos un poco de calculo o algebra, como lo quieran llamar, y hallamos que podemos evaluar esta integral evaluando la F mayuscula en t igual a b, y luego restando de F mayuscula en t que es igual a a.

Pero lo que esto les dice es que esta integral, el valor de esta integral, es solamente dependiente de nuestro punto de inicio, t igual a, esto es el punto de x de a, y de a, y el punto final, t igual a b, que es x de b, y de b. Esa integral depende solamente de estas dos valores. Como lo se? Porque para resolverlo– porque estoy diciendo que esta cosa existe — tuve que evaluar esa cosa en esos dos puntos; no me intereso lo que habia en medio de la curva.

Entonces esto demuestra que si F es igual al gradiente– esto es llamado por lo general una función potencial de F mayuscula, sin embargo generalmente ellas son negativas una respecto de la otra, pero es la misma idea — si el campo vectorial f es el gradiente de algun escalar o campo de F mayuscula, entonces podemos decir que f es conservativa o que la integral de linea de f punto dr es independiente de la trayectoria. No importa que trayectoria tomemos con tal de que nuestro punto inicial y punto final sean los mismos. Espero que hayan encontrado esto de utilidad.

Y hare algunos ejemplos con esto. Y en realidad en el proximo video demostrare otro resultado interesante basado en esto.

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