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descargador de youtube “Example of calculating a surface integral part 3 Multivariable Calculus”

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Example of calculating a surface integral part 3 Multivariable Calculus

En los videos anteriores hemos estado moviéndonos lentamente hacia nuestro objetivo de averiguar la superficie del área de este toro y lo hicimos por la evaluacion de una integral de superficie, y para evaluar una integral de superficie teniamos que tomar la parametrizacion – tomar su parcial con respecto a s y t. Lo hicimos en el primer video. Entonces tuvimos que tomar su producto cruzado.

Lo hicimos en el segundo vídeo. Ahora, estamos listos para calcular la magnitud del producto cruzado. Y entonces podemos evaluar en el interior de una integral doble y hemos resuelto o hemos calculado una integral real de superficie – algo que se ve muy pocas veces en su la carrera de su educación.

Así que esto es muy emocionante. Así que este fue el producto cruzado aquí. Ahora, vamos a tener la magnitud de esta cosa.

y ustedes recordarán, la magnitud de cualquier vector es un tipo de de un teorema de Pitágoras. Y en este caso va a ser una especie de la fórmula de distancia para el teorema de Pitágoras en 3 dimensiones. Por lo tanto la magnitud – esto es igual a, al igual que un recordatorio, es igual a este aquí. Es igual a la parcial de r con respecto a la cruzado s con la parcial de r con respecto a t.

me deja copiar y pegar. Esto es igual a la derecha allí. Ponga un signo de igual. Estas dos cantidades son iguales.

Ahora queremos averiguar la magnitud. Así que si queremos tener la magnitud de esto, que es va a ser igual a – bueno, esto es sólo un escalar que es multiplicar todo. Así que vamos a escribir el escalar por ahí. Así b más un coseno de s por la magnitud de esta cosa aquí.

Y la magnitud de esta cosa aquí va a ser el total de – usted puede imaginar, es la raíz cuadrada de esta cosa salpicada de sí mismo. O se podría decir que es la suma de los cuadrados de la raíz cuadrada de cada uno de estos terminos asi que me escriben asi dejame escriber la suma de los cuadrados por lo que si cuadras este si obtiene un cuadrado coseno cuadrado de s, seno cuadrado de t. Es ese término. Y–permítanme usar un código de color.

Voy a hacer el magenta. Además de que el término cuadrado. Además a coseno cuadrado cuadrado de s, coseno cuadrado de t. Y por último–entonces voy a usar otro color– Este término al cuadrado.

Así que además de a cuadrado seno cuadrado de s. Y va a ser todo de este a la raíz cuadrada. Esto aquí es lo mismo que la magnitud de esto aquí. Esto es sólo un escalar que es multiplicar por ambos términos.

Así que vamos a ver si podemos hacer algo interesante aquí. Si esto se puede simplificar de alguna manera. Tenemos un coseno cuadrado cuadrado de s. Tenemos un a cuadrado coseno cuadrado de s aquí, así que vamos a factorarlo de ambos términos y ver qué pasa.

Voy a escribir esta segunda parte. Así que esto va a ser un coseno cuadrado cuadrado de s tiempos de seno cuadrado de t–poner un paréntesis–plus coseno– Oh, quiero hacerlo en ese color magenta, no naranja. Además coseno cuadrado de t.

Y entonces vas a tener esto más a cuadrado seno cuadrado de s. Y por supuesto, todo eso es la potencia de 1/2. Ahora, ?qué es esto? Bien, tenemos seno cuadrado de t plus coseno cuadrado de t. Qué bueno.

Es igual a 1, la más básica de identidades de trig. Así se simplifica esta expresión aquí un coseno cuadrado cuadrado de s y además de esto aquí: un cuadrado seno cuadrado de s. Y todo eso a la potencia de 1/2.

Usted puede reconocer inmediatamente le puede factor cabo un un cuadrado. Esto es equivalente a un cuadrado porcoseno cuadrado de s más seno cuadrado de s. Sólo estoy enfocando este término aquí.

Voy a escribir esto en un segundo. Pero una vez más, coseno cuadrado más seno cuadrado de cualquier cosa va a ser igual a 1. Si es lo mismo, va a ser igual a 1. Así que este término es un cuadrado a la potencia de 1/2.

O la raíz cuadrada de un cuadrado, que va a ser igual a a. Así que todo estas–cosas locas aquí sólo simplifica, todo eso simplifica a a. Por lo que este producto cruzado aquí simplifica a este por a, que es una simplificación muy aseada y sencilla. Así que permítanme reescribir esto.

Que simplifica, simplifica a a por eso. Y ?qué es eso? a por b, por lo que es la cantidad ab. AB más un coseno cuadrado de s. Así que ya nos hemos llegado bastante lejos y es agradable cuando haces algo tan bestial y finalmente es algo bastante sencillo.

Y sólo para repasar lo que teníamos que hacer, lo que fue nuestra misión en los varios videos anteriores, es que queremos evaluar qué es esta cosa sobre la región de s–sobre la región sobre la superficie es definido. S que va de 0 a 2 pi y t va de 0 a 2 pi. Sobre esta región. Así que queremos integrar esto de esa región.

Así que esa región vamos a variar s de 0 a 2 pi. Pues, ds. Y, a continuación, vamos a variar t de 0 a 2 pi–dt. Y esto es lo que estamos evaluando.

Nosotros estamos evaluando la magnitud del producto cruzado de estos dos derivadas parciales de nuestra parametrización original. Esto es lo que podemos poner allí. Las cosas están haciéndose simple todo de repente, o más simple. AB plus a cuadrado coseno de s.

?Y lo que es este igual a? Así que esto va a ser igual a–bien, sólo tomamos la integral del interior con respecto a s. Por lo que la integral–por lo que me deja evaluar el exterior de nuestra integral. Así que todavía vamos a tener que trabajar con el 0 a 2 PI y nuestro dt aquí. Pero la primitiva con respecto a s aquí va a ser–ab es igual a una constante, por lo que se va a ser abs plus–?qué es la integral de coseno de s? Es seno de s.

Y más a cuadrado seno de s. Y vamos a evaluarlo de 0 a 2 pi. Y ?qué es este va a ser igual? Vamos a poner nuestras fronteras o la integral de t que vamos a tener que hacer en un segundo–0 el 2πdt.

Cuando pones 2π aquí, es ab por 2π o 2πab. Así que vas a tener 2abπ más π un seno cuadrado de 2π. Seno de 2π es 0, por lo que no va a ser un término allí.

Y entonces menos 0 por ab, que es 0. Y entonces vas a tener menos a seno cuadrado de 0, que también es 0. Así que todos los otros términos son todos ceros.

Eso es lo que estamos salimos con ella, se simplifica muy bien. Así que ahora sólo tenemos que tomar la integral de esto con respecto a t. Y esto es una constante en t, por lo que esto va a ser igual a– tomar la integral con respecto a t–2πabt y es necesario evaluar de 0 a 2 pi, lo que equivale a– así que ponemos 2π allí. Tienes un 2π para t, va a ser 2π por 2πab O deberíamos decir, 2 por π cuadrado por ab menos 0 por esta cosa.

Bien, solo va a ser 0, por lo que no tenemos que escribirlo. Así que hemos terminado. Es la área de la superficie del Toro.

Esto es emocionante. Es una sorpresa. Esto es igual a 4ab por π al cuadrado, que es tipo de una fórmula conveniente porque es muy sencilla. Ustedes saben, tiene 2π, que es tipo de la diámetro de un círculo.

Nosotros estamos escuadrádolo, y tiene sentido porque estamos tomando el producto de–es como el producto de estos 2 círculos. Estoy hablando en términos generales, muy abstractos, pero se siente bien. Y entonces estamos tomando sólo el producto de los dos radios, recuerda.

Permítanme simplemente copiar esta cosa aquí abajo. En realidad, me deja copiar esta cosa porque este es nuestro nuevo– Este es nuestro resultado gratificante. Me permite copiar esto. Así, copia.

Así que todo este trabajo que hicimos simplificado a esta cantidad, y es emocionante. Ahora sabemos que si tienes un toro donde el radio de la sección transversal es una y la radio desde el centro del toro a la mitad de las secciones transversales es b. Que la área de la superficie de ese toro va a ser 4π cuadrado por a por b Y pienso que es un resultado bastante satisfactorio.

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descargador de youtube “Example of calculating a surface integral part 2 Multivariable Calculus”

Cuando lo dejamos en el último video, nos fuimos encontrando la superficie de un toro, o la forma de un Rosco. Y hacíamos tomando una integral de superficie.

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Example of calculating a surface integral part 2 Multivariable Calculus

Y para tener una superficie integral, teníamos que encontrar el parcial de nuestra parametrización con respecto a s y la parcial con respecto a t, y ahora estamos listos para tomar el producto vectorial. Y, a continuación, podemos tomar la magnitud del producto Cruz. Y, a continuación, realmente podemos tomar esta integral doble y averiguar la superficie.

Así que vamos a hacerlo paso a paso. Aquí podríamos tomar el producto cruzado, que no es una operación no peluda. Por eso no ves muchas integrales de superficie realmente obtener hecho, o muchos ejemplos de hecho.

Vamos a tomar el producto cruzado de estos dos becarios. Así que el parcial de r con respecto a s, cruzó con– en magenta–el parcial de r con respecto a t. Se trata de un poco de revisión de la Cruz productos para usted.

Podría recordar que esto va a ser igual al determinante. Voy a escribir los vectores de unidad hasta aquí. La primera fila es i, j y k. Y, a continuación, las siguiente 2 filas van a ser–permítanme hacer eso ese color amarillo–las próximos 2 filas van a ser los componentes de estos chicos.

Así que permítanme copiar y pegar. Usted tiene razón. Copiar y pegar.

Poner a ese chico allí. Entonces ahí tienes este compa?ero. Lo puso allí. Y luego tienes a este chico aquí.

Esto nos ahorrará tiempo. Entonces la última fila va a ser componentes de este chico. Ponerlo aquí. Casi todo hecho.

Este chico–copiar y pegar. Asegúrese de que sabemos que estos son términos independientes. Y por último, no tenemos que copiar y pegar, pero sólo ya lo hicimos para todos los otros términos, podrá hacerlo para 0, así. Por lo tanto el producto cruzado de estos es literalmente el determinante de esta matriz aquí.

Y así, igual que un poco de un repaso de la toma determinantes, esto va a ser que el tiempo de la subdeterminante aquí, si cruzas esta columna y la fila. Así que va a ser igual a i–que no está acostumbrado a ver el vector unitario escrito primero, pero nosotros podemos cambiar el orden de más tarde–veces veces la submatrix aquí. Si cruzas esta columna y la fila.

Así va a ser este término veces 0–que es justo 0–menos este término veces ese término. Por lo tanto menos este veces término este término – los signos negativos son va a cancelar, así que esto será positivo. Tan sólo va a ser que veces este término veces esto plazo, sin derecho hay un signo negativo. Por lo tanto veces este término, que es un coseno de s.

Es verdad que término veces ese término, menos ese término veces término, pero los negativos cancelan. Veces que es 0. Eso es cómo podemos hacer esto. Es un coseno de s veces b plus un coseno de s–iré sólo todos Cambie al mismo color–seno de t.

Así que tenemos nuestro i término para el producto cruzado. Ahora va a ser menos j–recuerda cuando llevas la determinante, realmente tiene este tipo de, tienes que Junta de comprobador de conmutación sines. Ahora va a ser menos j veces–y tachar fila y la columna–y va a ser este término Este término–que es simplemente 0–menos este término veces este término. Y una vez más, cuando tienes–oh, lo siento.

Cuando cruzan esta columna y la fila. Así que va a ser ese chico veces aquel chico, menos Este chico veces este chico. Por lo tanto va a ser menos este chico veces este chico–por lo que es va a ser–me deja hacer en amarillo.

Hasta los momentos negativos negativos ese tio, b más un coseno de s coseno de t veces este chico, un coseno de s. Nosotros te limpieza en un poco. Pues esto podrá limpiar, y verá esta negativa y negativo se cancela. Sólo estamos multiplicando todo.

Y por último, el término k. Lo más–voy a ir a la siguiente línea–plus k veces–tachar esa fila, columna–va a ser el momento que, menos que el tiempo. Por lo que parece ser una especie de algo bestial.

Pero creo que si damos paso a paso, se no debería ser demasiado malo. Así veces. Los negativos van a cancelar. Por lo tanto este término aquí va a ser un seno de t, seno de s.

Y, a continuación, este término correcto aquí es b además un coseno del seno s de t. Así es que veces–y los negativos cancelados es por eso no puso ningún negativos aquí–menos este momento esto. Hasta este momento esto va a ser un número negativo.

Pero si usted toma el negativo de la misma, se va a ser un valor positivo. Por lo tanto va a ser más un coseno de t seno de s veces. Veces b más un coseno de coseno de s de t. Ahora ves por qué no ves muchos ejemplos de superficie integrales está haciendo.

Vamos a ver si tenemos esto podemos limpiar un poco, especialmente si nos podemos limpiar este último término un poco. Así que vamos a ver qué podemos hacer para simplificar la TI. Así que nuestro primer mandato. Así que vamos a simplemente multiplicar, supongo que es el manera más fácil de hacerlo.

En realidad, el primer paso más fácil sólo sería factor fuera el b además un coseno de s. Debido a que es en cada término. b más un coseno de s.

b plus un coseno de b s. plus un coseno de s. Así que vamos a sólo factor fuera. Así que esta cosa todo loca puede escribirse como b más un coseno s–lo hemos factorizado se fuera–veces–.

Voy a poner en algunos soportes aquí, así que no multiplicar el tiempo de cada componente. Por lo tanto el componente, cuando el factor de este chico, que va ser un coseno de seno s de t. Me permito escribir en verde.

Por lo tanto va a ser un coseno de seno s de t veces me–eres no acostumbrado a ver la i antes, así que voy a escribir la i aquí–y luego más–. Nos estamos factorización de este chico, por lo que sólo vas a ser izquierda con coseno de t, un coseno de s. O podemos escribir como un coseno de coseno de s de t–que derecho, simplemente ponerlo en el mismo orden que– veces la unidad vector j.

Y luego cuando hemos incluido este chico fuera–así que no vamos para ver que o que ya. Cuando el factor fuera, podemos multiplicar este ?fuera, y lo que obtenemos? Por lo tanto en verde, voy a escribir de nuevo. Así que si multiplicar seno de t veces esta cosa aquí– porque eso es todo lo que hemos dejado después nos factor fuera esto ?cosa–obtenemos un seno de s, seno cuadrado de t, correcto? Tenemos seno del seno de tiempos de t de t.

Así es que allí. ?Plus–lo que tenemos aquí? Tenemos un seno de veces s coseno cuadrado de t. Y todo eso veces el vector de la unidad de k. Así que las cosas están mirando un poco más simplificadas, pero algo podría ver saltar a te.

Tienes un seno cuadrado y un coseno al cuadrado. Tan alguna, si sólo puedo hacer ese seno sólo más cuadrado coseno cuadrado de t, los van a simplificar a 1. Y podemos. Y aquí, este término podemos–si nos centramos sólo en término–y esto es todo tipo de manipulación algebraica.

Si sólo nos concentramos en ese término, este término puede ser reescrito como un seno de s–si factor de ese seno fuera–veces cuadrado de t más coseno al cuadrado de los tiempos de t nuestro vector unitario, k. ?Verdad? Yo sólo factorizado en un seno de s de ambos términos. Y esta es nuestra identidad más fundamental de vértice geodésico desde el círculo de la unidad.

Esto es igual a 1. Por lo que este último término simplifica a un seno de s veces k. Por lo tanto, hasta ahora nos hemos llegado bastante lejos. Hemos podido averiguar el producto cruzado de estos 2 me supongo, derivadas parciales del vector valorado, o nuestra parametrización original allí.

Hemos podido averiguar qué esta cosa aquí, antes tomamos la magnitud de la misma, se traduce en esto cosa aquí. Permítanme reescribir–bien, no necesito a reescribirla. Lo sabe. Bueno, te reescribirla.

Por lo que es igual a–a reescribirla prolijamente y vamos a utilizar Esto en el próximo video–b más un coseno de veces s abiertos soporte un coseno de seno s de t veces me plus–volver a el azul–además de un coseno de coseno de s de t veces j plus– Cambie a azul–esta cosa–más–esto simplificado muy bien–un seno de s veces k. Veces la unidad vector k. Aquí se trata de esta expresión allí. Y podrá terminar este video, ya que soy ya más de 10 minutos.

Y en el siguiente video, vamos a tomar la magnitud de la misma. Y luego, si tenemos tiempo, realmente tomar Esta doble integral. Y todos podrá ser hechos. Voy averiguar la superficie de este toro.

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Example of calculating a surface integral part 1 Multivariable Calculus

Vimos hace varios videos que podemos parametrizar un torus, o una forma de rosquilla, como una función vectorial de posición de dos parámetros. Y este es el resultado que tuvimos. Creo que lo ense?é durante varios videos porque era un poco difícil.

Y voy a escribir nuestra función vectorial primero. Así que tenemos R como una función de nuestros dos parámetros S y T. Y luego voy a repasar un poco lo que todos los términos – lo que la S, T, y las A’s y B’s representan. Pero es igual a b más un coseno de s.

Una vez más, vimos en algunos videos anteriores. Así que tal vez quieras ver los videos sobre parametrización de superficies con dos parámetros para entender como llegamos aquí. Por el seno de t. Voy a poner los términos de S y T en colores distintos.

Por nuestro vector unitario i . Pondré los vectores, o los vectores unitarios en este color anaranjado. Más- Lo haré en el mismo amarillo.

Más b, más un coseno de s, por coseno de t, por el vector unitario j- el factor unitario en la dirección de y Más seno de s, por el vector unitario k- o el vector unitario en la dirección de z Y para generar el torus o la figura de rosquilla, esto es cierto para nuestros parámetros- para no envolvernos múltiples veces alrededor del toro- ponemos s entre 0 y 2 pi, y para t entre 0 y 2 pi. Y como un peque?o repaso, de donde vino todo esto- y voy a tener que distribuir partes de mi plan para este video entre varios videos. Pero repasemos de donde vino todo esto.

Dibujaré una rosquilla. Aquí esta mi mejor intento a dibujar una rosquilla. Que parece una rosquilla o un torus.

Y puedes imaginar un torus, o esta forma de rosquilla es como el producto de dos círculos. Tienes el círculo que es como la sección transversal de una rosquilla a cualquier punto. Lo podrías tomar aquí. Y lo podrías llevar para allá.

Y después tienes el círculo que envuelve todos esos otros círculos o estos otros círculos lo envuelven. Y así, cuando derivamos esta fórmula aquí arriba o esta parametrización, A era el radio de estas secciónnes transversales de los círculos. Ese es A.

Eso es lo que estos términos de A fueron Y b era la distancia de el centro de nuestra toro a la centro de estas secciones transversales. Así que este fue b. Así que usted puede imaginar que b es como la radio del gran círculo hasta el punto medio del, supongo, la sección transversal. Y a es el radio de los círculos de la sección transversal.

Y cuando lo parametrizamos, el parámetro S esencialmente S nos estaba diciendo dónde están o a qué grado estamos envolviendo el circulo Así que es un ángulo de 0 a 2π para decir dónde estamos en el circulo. Y T nos dice a que grado hemos girado el círculo más grande . Así que, si lo piensas bien, puede especificar cualquier punto de este bu?uelo o en esta superficie on el el torus por contar S o T Y es por eso que elegimos esa parametrización.

Ahora, la razón por la qué estoy repasando esta materia que vimos en un video anterior que vamos a usarla para calcular una integral de superficie actual. Y la integral de superficie que vamos a calcular nos dirá el área de la superficie de este toro. Así que esta superficie aquí es sigma, así y está siendo representado por esta función vectorial de posición.

Se parametriza por estos dos parámetros allí Y si quisiéramos calcular el área de superficie, si la establecemos como la integral de superficie que vimos, creo que el último vídeo – al menos el último video cálculo vectorial – yo hice. Esta es una integral de superficie sobre la superficie. Aquí, este Sigma no representa una suma; representa una superficie de un montón de peque?a d Σ’s un grupo de los peque?os trozos de la superficie Y, para repasar, puedes imaginar cada d Σ es una peque?a parte de la superficie de ahí. Es una d Σ.

Es un doble-integral porque queremos anadir todo de los d Σ’s en 2 direcciones. Puedes imaginar un tipo de girarlo en esta manera alrededor del torus y la otra direecion va en otra direccion alrededor del torus. Eso es porque usamos un doble-integral.

esto sólo va a darle la superficie, lo que es el punto central de este video y probablemente de los 2 videos próximos Pero si quieres multiplicar estos sigmas por algún otro valor – hay alguna esfera escalar en que esto está que es importante–puedes poner el otro valor aquí. Pero aquí sólo estamos multiplicando por 1. Y vimos en el último video que es una forma de expresar una idea, pero realmente no se puede hacer mucho con este cálculo. Pero una manera de expresarlo para que puedes tomar la integral, es decir que es la misma cosa – y lo vimos en los videos recientes.

Esto es lo mismo que la doble integral sobre la región sobre la cual se definen los parámetros. Así que es la región aquí donde s y t ir de 0 a 2π cualquiera que sea su función es esto. Sólo tenemos un 1 aquí, así que sólo podía escribir un 1 si queremos; no va a cambiar much.

Por–y eso es lo que aprendimos– la magnitud de la derivada parcial de R con respecto a S. La magnitud de esa cruzada con la derivada parcial de R con respecto a Tds Podrías tomarlo en cualquier orden, menos dsdt Pues, lo vimos en el video anterior. Lo que vamos a hacer ahora es calcularlo. Es el punto central del video.

Vamos a tomar el producto cruzado de esos 2 vectores Vamos a calcular los vectores. Luego, en el el siguiente video, vamos a tomar el producto cruzado. Y, a continuación, el vídeo después de lo realmente evaluamos Esta doble integral.

Y vas a ver que es un problema bastante dificil y esto es probablemente la razón por la que muy pocas personas alguna vez ven un integral de superficie real calculado. Pero vamos a hacerlo de todas formas. Por lo tanto la derivada parcial de r con respecto a s–por lo que Este término derecho aquí.

Haremos el producto cruzado en el siguiente vídeo. ?Este término es qué? Sólo queremos mantener constante de t y se llevó el parcial respecto a S. Así que esto aquí, si usted distribuye el seno del T por b–que sólo va a ser una constante en términos de s, así podemos ignorarlo.

Luego tienes el seno de t por esto aquí. Así el seno de t y a es una constante. Y toma la derivada del coseno de s. Eso es negativo seno de s.

Así que los derivados de esto con respecto a s o el parcial respecto a s va a ser menos–voy a escribir verde del seno de t, para que sepa que es de donde proviene. Seno de t y luego sinusoidal de s. La derivada de esto es sine negativo de s. Es de donde proviene esa negativa.

Y entonces voy a escribir el seno del S ahí. Por el vector de la unidad i. Es la parcial de este término x con respecto a S.

Y luego haremos lo mismo con el término Y o el término de J. Así mas–misma lógica–b veces coseno de t respecto a s. Cuando usted toma el parcial [INAUDIBLE] se convierte en 0 para que te dejan con un–bien, va a ser un menos un nuevo porque cuando tome la derivada de la coseno de s va a ser negativo sinusoidal de s.

Me deja hacerlo. Vas a tener un signo menos una. Este coseno de t. Menos un coseno de t.

Es los términos constantes. Seno de s. Sólo tomando derivadas parciales. Seno de s.

j. Y, a continuación, por último, tomamos la derivada de esta respecto a s. Y que es bastante sencillo.

Sólo va a ser un coseno de s. Así más un coseno de s. k.

Ahora esperemos que no encontró este confuso. El sines negativo porque la derivada del coseno son negativos sines. Seno tan negativa de s.

Por eso es negativo sinusoidal de s veces la constante. Seno negativo de s veces la constante–la constante coseno de seno t de t. Así que esperemos que esto tiene sentido al igual que un examen de teniendo una derivada parcial. Ahora vamos a hacer lo mismo con respecto a t.

Y lo haré en un color diferente. Así que ahora vamos a tomar el parcial de r con respecto a t. Para el parcial de r con respecto a t es igual a–para Ahora todo este plazo sobre aquí es una constante, y por lo tanto tiene va a ser que todo término veces la derivada de esta con respecto a t, que es justo coseno de t. Así que va a ser b más un coseno de s coseno de tiempos de t i.

Y luego, más–y realmente va a ser un signo menos porque cuando usted toma la derivada de esto con respecto a t va a ser menos seno de t. Así que va a ser negativo y, a continuación, permítanme dejar espacio para este término aquí. Seno negativo de t.

Y vas a tener ahi un término constante. Es un término constante en t. b más un coseno de s. Es de ahí de ese término.

Derivada de coseno t es negativo seno de t por j. Y, a continuación, el parcial de esto con respecto a t–esto es simplemente una constante en t. Por lo tanto la derivada parcial va a ser 0.

Así que voy a escribir más 0 k. Permitame hacer todos mis vectores en ese mismo color. Plus 0 por la vector unidad k.

Por lo nos da nuestras derivadas parciales. Ahora tenemos que tomar su producto cruzado y, a continuación, calcular la magnitud del producto cruzado y luego evaluar este integral doble. Y voy a hacer en un par de videos.

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descargador de youtube “Introduction to the surface integral Multivariable Calculus”

Comienzo En el ultimo video terminamos con estos dos resultados. Comenzamos a pensar en que significa tomar la derivada parcial de una función vectorial, y obtuve estas clases de, podrías llamarlos, resultados bizarros.

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Introduction to the surface integral Multivariable Calculus

Tu sabes, ?cual fue el punto en general de llegar aquí, Sal? Y el punto en general es que yo pueda darte las herramientas que tu necesitas para entender que es una integral de superficie Entonces vamos solo a pensar, vamos a dibujar el plano (s,t), y luego ver como se transforma en esta superficie r. Entonces vamos a hacer eso. Decimos que ese es el eje-t, y decimos que ese es el eje-s, y luego decimos que nuestra funcion vectorial, nuestra función vectorial posicionada, es definida de las s entre a y b, yo solo estoy eligiendo limites arbitrarios, y entre t siendo igual a c y d.

Entonces el area este rectángulo justo aquí, sera cartografiado a parte de esa superficie. Y si tu gráficas estos puntos, eventualmente vas a obtener la superficie r. Déjame dibujar r en 3 dimensiones. Una superficie en 3D.

Así que esa es nuestro eje-x, esa es nuestro eje-y, y luego esa es el eje-z. Y solo como peque?o recordatorio, se podría ver algo como esto. Si nosotros fuéramos a, este punto justo aquí, donde s es igual a a, y t es igual a c, recuerda, nosotros vamos a dibujar la superficie indicada por la posición función vectorial s, r de s y t. Así que este punto de aquí, cuando s es a y t es c, tal vez proyecte, ya sabes, ese punto! justo aquí cuando coges a y c, lo pones en esto de aquí vas a obtener el vector que se?ala a aquél entonces dirás, te va a dar una posición vectorial esto te indicará en aquella posición, justo allí y entonces digamos que esta línea de aquí, si fuéramos a coger s constante de a, y si fuéramos a variar t de c a d, entonces tal vez podría parecerse a esto sólo estoy dibujando algunos contornos arbitrarios allí tal vez si cogemos la constante t a c y variamos s de a a b tal vez se parecerá a algo como aquello no lo sé sólo estoy intentando ense?aros un ejemplo entonces este punto de aquí corresponde al punto aquél de allí donde pones en el vector-valor función r, tú obtendrás un vector que te se?ale a ese punto, justo como ese y este punto de aquí enmorado, cuando evaluar r de s y t, te daré un vector que te se?ale justo allí, a aquél punto de allí, y podremos hacer una pareja de otros puntos, sólo para obtener una idea de aqué se parece la superficie aunque estoy intentando mantenerlo todo lo más general posible entonces tal vez, déja que lo haga en este color azulado este, si cogemos p en d y variamos s de a a b, tenemos que empezar aquí aquí es cuando t es d y s es a y cuando lo varías, tal vez obtienes algo como aquello no lo sé entonces este punto de aquí correspondería a aquél vector que se?ala ese punto, justo allí, y finalmente esta linea, o esta, si cogemos s en b y variamos t entre c y d, tendremos que ir de ese punto a ese otro punto, entonces se parecéra a algo así, oh, lo siento, vamos a ir desde este punto a este punto cogemos s en b, variando t de c a d tal vez se parecerá a algo como aquello .

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descargador de youtube “Partial derivatives of vector-valued functions Multivariable Calculus”

Tenemos que la función vectorial r(s,t) es igual a. .

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Partial derivatives of vector-valued functions Multivariable Calculus

Bien, x será una función de s y t. Escribámosla como x función de s y t, por el vector unitario de dirección x, o sea i, más y función de s y t por el factor unitario j. más z función de s y t por el vector unitario de z, o sea k. Ya que tenemos esta función vectorial definamos, o pensemos qué significa tomar la derivada parcial de esta función vectorial con respecto de uno de los parámetros, s o t.

Creo que será muy natural, no hay nada raro aquí. Hemos tomado antes las derivadas parciales de funciones no vectoriales, cuando solo cambia una de las variables. Solo la tomamos con respecto a una variable y mantenemos la otra variable, constante.

Vamos a hacer lo mismo aquí. Hemos hecho derivadas totales de funciones vectoriales. El procedimiento simplemente terminaba con la derivada corriente de cada uno de los términos. Ahora veremos que será lo mismo aquí con la derivada parcial.

Definamos la derivada parcial de r con respecto a s. Todo lo que hago con s, puede intercambiarse por t, y se obtiene exactamente el mismo resultado. Lo voy a definir como el limite cuando Δs se aproxima a 0, de r de s más Δs. Solo se busca el limite con respecto al cambio de s coma t.

Como pueden pensar, conservamos t constante con un cierto valor menos r función de s y t. Todo esto sobre Δs. Ahora, con un poquito de algebra aqui, literalmente r función de s más Δs coma t, que es lo mismo que x función de s más Δs t por i, más y de s, más Δs t por j, más z Todo eso, menos esto aqui. si haces un poquito de algebra con esto, y si no me creen, inténtenlo.

Esto va a ser igual al limite cuando Δs se acerca a 0. (Voy a escribirlo peque?o porque puede tomarnos mucho espacio) de x función de s más Δs, coma t menos x de s y t, Pienso que ya saben hacia adonde voy. Es algo monótono escribirlo todo, pero no hace da?o. Dividido por Δs por i.

luego voy a hacerlo en diferentes colores, asi será menos monotono. más y. Donde todos los limites de Δs se aproximan a 0; se aplica a todos los términos que estoy escribiendo.

y de s más Δs, coma t menos y de s coma t, todo sobre sobre Δs, por j. Y finalmente, más z de s más Δs coma t, menos z de s y t, todo esto sobre Δs, por el vector unidario de z, k. Todo esto viene de la definición. Si simplemente se pone s más Δs, en lugar de s.

se evalua todo eso, se hace un poco de algebra, se va a obtener exactamente lo mismo. Con suerte, esto salta a la vista. Si solo estamos tomando la derivada parcial de cada una de estas funciones con respecto a s. Estas funciones de aqui, esta x de s y t, son funciones no vectoriales.

Esta y es, igualmente, una funcion no vectorial. z tambien es una funcion no vectorial. Si las juntamos, se convierten en una función vectorial, porque estamos multiplicando la primera parte por un vector.

La segunda, por otro vector. Y la tercera, por otro vector. Aunque independientemente, esas funciones no son vectoriales. Así, esta es la definicion de las derivadas parciales corrientes.

Donde se ha tomado el limite cuando Δs se acerca a 0 en cada uno de estos casos. Que es exactamente lo mismo. Esto es igual a.

esto es exactamente lo mismo que la derivada pacial de x respecto a s por i, más la derivada parcial de y respecto a s por j, más la derivada parcial de z respecto a s por k. Voy a hacer algo más aquí, no muy matemático, pero va a resultar. La razón por la que hago este video es para obtener unos buenos elementos para la caja de herramientas para los videos sobre integrales de superficie. Asi que voy a hacer algo aqui.

Esto es pseudo-matematico y es porque realmente los diferenciales son bien dificiles de definir rigurosamente, pero yo pienso que da una intuición de lo que esta pasa. Asi que esto de aquí. Voy a decir que es igual a.

No encuentran esto en ningún libro de matemáticas y los matemáticos de verdad se van a encoger aquí cuando me vean haciendo esto. Pero me gusta hacerlo porque creo que les da la intuicion de lo que pasa cuando tomemos nuestras integrales de superficie. Voy a decir que todo esto de aquí, es igual a r de s, más el diferencial de s.

Un peque?o cambio de s. t menos r de s y t, todo esto sobre el mismo peque?ísimo cambio de s. Espero que lo entiendan, pues al menos yo lo veo de este modo. Cuando tomo el límite cuando Δs se aproxima a 0, esta Δs van a hacerse super super super peque?a.

En mi cabeza, asi es como yo entiendo los diferenciales. Cuando alguien escribe la derivada de y con respecto a x, digamos que es 2 . y luego hacemos un poco de matemáticas con diferenciales como antes.

Te puedes imaginar que se multiplican ambos lados por dx y que se llega a que dy es igual a 2dx. Hemos hecho esto a través del cálculo. Lo que me imagino es un cambio infinitamente peque?o de y, igual a 2 veces, podemos pensar así, el cambio igualmente peque?o de x. Esto es, bueno, si se tiene un cambio super peque?o de x, el cambio de y va a continuar siendo super peque?o, pero puede ser el doble.

Creo que esta es la mejor forma de verlo. En general, yo veo los diferenciales como cambios super peque?os de una variable. Dejando eso a un lado, y al explicarte lo que haría encoger a muchos matemáticos por lo que escribí. Espero que esto te dé un poco.

No es una locura que yo me inventé. Lo que quiero decir es que si Δs se aproxima a 0 pensamos que será ds. La razón para esto es que si tomas este lado y esto otro lado y multiplicas ambos por el diferencial ds, entonces ?qué sucede? A la izquierda, se tiene la parcial de r respecto a ds igual a esto por ds. Lo puedo escribir en rosado.

Por ds. Es simplemente un diferencial común, un cambio de s súper peque?o. Esto es como una parcial con respecto a s. Va a resultar igual a.

Bueno, si multiplicas este lado de la ecuación por ds, esta cosa desaparece. Queda r de s, más el peque?ísimo cambio de s, t, menos r de s y t. Encerremos esto en un peque?o cuadro.

Esto nos va a resultar muy valioso para el próximo video. Vamos a pensar en lo que ésto significa y cómo visualizarlo en una superficie. Como puedes pensar, esto aquí es un vector.

Tienes 2 funciones vectoriales y estás tomando la diferencia. Esto lo vamos a visualizar en el próximo video. Va a ser una gran ayuda para las integrales de superficie.

Exactamente por el mismo razonamiento, todo lo hecho aquí con s, podríamos hacerlo con t. Podemos definir la parcial. dibujo un peque?o.

Definimos la parcial de r respecto a. Hagámoslo en un color diferente, completamente distinto. Anaranjado. La parcial de r con respecto a t.

La definición está aquí. El límite cuando Δt se aproxima a 0, de r, de s, t, más Δt, menos t de s y t. Ahora conservamos fijo a s.

Puedes pensar que es constante. Estamos encontrando el cambio de t, todo sobre Δt. Y todo aparece igual.

Esto es igual a la parcial de x respecto a t, más y respecto a t, más z respecto a t. Exactamente lo mismo, simplemente se cambian la s por la t. Con el mismo argumento, se tiene el mismo resultado, pero en términos de t.

Si haces las mismas peuso.matemáticas que hice aquí arriba, obtienes la parcial de r respecto a t, multiplicada por un pequ?ísimo cambio de t, dt, el diferencial. Puedes pensar que es igual a r de s y t, por dt, menos r de s y t. Enmarcamos estas dos cosas.

En el próximo video vamos a visualizar lo que quieren decir. En ocasiones, cuando haces un poco de matemáticas tontas como éstas, te preguntas, bien, ?y de qué se trata todo esto? No lo olvides. No he nhecho nada más que.

?qué significa tomar la derivada de esto, respecto a s, o a t.? Jugamos un poco con todos esto y obtuvimos el resultado. Estas 2 nos van a resultar muy valiosas, creo, para lograr intuición para. Por qué se ven las integrales de superficie, como se ven.

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descargador de youtube “Determining a position vector-valued function for a parametrization of two parameters”

En el último vídeo, empezamos a hablar sobre cómo parametrizar un toro, o una forma similar a un doughnut. Y los dos parámetros que usamos, y dediqué bastante tiempo a intentar visualizarlo, ya que todo esto es sobre visualización.

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Determining a position vector-valued function for a parametrization of two parameters

Creo que es lo más complicado de hacer aquí. Pero la forma en la que podemos parametrizar un todo, que es la superficie de este doughnut, es decir ‘hey, tomemos un punto y rotémoslo al rededor de un círculo’. Puede ser cualquer círculo. He seleccionado un círculo en el plano z-y Qué tan lejos va alrededor de dicho círculo lo parametrizamos por s.

s puede estar entre 0 y 2 pi. Después, vamos a rotar este círculo alrededor de sí mismo O quizás una mejor manera de decirlo es, vamos a rotar el círculo alrededor del eje z y todo está en el centro del círculo, así que siempre mantenemos una distancia b desde el eje. Estas eran vistas superiores. Después definimos nuestro segundo parametro t, que nos dice qué tan lejos ha rotado el círculo alrededor de el eje z.

Esas fueron nuestras dos definiciones de parámetros. Ahora aquí tratamos de visualizar lo que pasa. Esto es más o menos el dominio en el cual nuestra parametrización va a ser definida. s va entre 0 y 2 pi, así que cuando t es 0, no hemos rotado afuera del plano z-y.

S esta en 0, y va completamente hasta 2 pi Luego cuando t va a 2 pi, hemos como movido nuestro circulo. Lo hemos movido en conjunto, y hemos rotado alrededor del eje z un poco. Y luego esta linea en nuestro .

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descargador de youtube “Introduction to parametrizing a surface with two parameters Multivariable Calculus”

Hasta ahora solamente hemos parametrizado una curva con un solo parámetro. Lo que vamos a hacer en este video es parametrizar una superficie en tres dimensiones, usando dos parámetros.

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Introduction to parametrizing a surface with two parameters Multivariable Calculus

Y vamos a empezar con un ejemplo de toro Un toro, o más conocido como la forma de una dona. Y sabemos a que se parece una dona. Voy a dibujarla en un color, ejem, no tengo ningún color apropiado para donas, así voy a usar verde.

Una dona es como esto. Tiene un hueco en el centro, y tal vez el otro lado de la dona se parece a algo como esto, y podemos sombrearla así. Asi es como se ve una dona. Entonces, ?cómo la construimos usando dos parámetros? Lo que queremos hacer es que puedes visualizarla, una dona, si dibujaras unos ejes aquí.

Eso es nuestra dona. Voy a dibjuar unos ejes. Supongamos que tengo el eje z que va recto de arriba a abajo. Está dibujado aqui, la dona está un poco inclinada, así voy a inclinar el eje z un poco.

Entonces nuestro eje z pasa a través del centro de la dona Si seguimos así, esto va a ser un ejercicio de dibujo más que otra cosa Entonces ese es mi eje z, y puedes imaginar que el eje z va desde allí, y entonces esto que sale de aquí será mi eje x. Correcto, aquí esta mi eje x, y tal vez entonces mi eje y sale por acá de esta manera. Y la razón por la que lo dibujé de esta forma es que si tú imaginas la sección de cruce de esta dona podrás apreciarla más fácilmente. pero la sección de cruce de esta dona en los ejes x-z se parecerá a algo como esto.

Si lo cortara en el eje x-z, se vería como algo así. Eso sería el segmento. Se traza, y estamos pensando acerca de la no una rosquilla completa, sólo la superficie de un donut.

Por lo tanto sería trazar un círculo como este. Si fueras a cortar los anillos en el eje z positivo-y tiene va a rastrear a un círculo que tiene un aspecto de esa forma, justo allí. Y si se apaga aquí, vas a obtener el manojo de círculos. Así que si pones a pensar, es un manojo de círculos girado alrededor del eje z.

Si usted piensa de esa manera, nos daremos algunos buenos intuición de la mejor forma de parametrizar esta cosa. Así que vamos a hacerlo de esa manera. Vamos a empezar con sólo el eje z-y. Voy dibujar un poco mejor de lo que he hecho aquí.

Por lo que es el eje z y es y, sólo así. Y supongamos que el centro de estos círculos, vamos a decirlo mentiras sobre, ustedes saben, puede mentir, al cruzar el eje z-y, el centro se sitúa en el eje y. No se?alo lo que claramente aquí, pero creo que se pueden visualizar. Así que allí se asienta en el eje y.

Y digamos que es una distancia b del centro del Toro, o desde el eje z es una distancia de b. Siempre va a estar a una distancia de b. Ha siempre, si te imaginas la parte superior de la rosquilla, permítanme Dibuja la parte superior de la rosquilla. Si usted está buscando hacia abajo en una rosquilla, permítanme llamar un donut justo aquí, si usted está buscando hacia abajo en una rosquilla, sólo se ve algo así.

El eje z sólo va a ir apareciendo directamente hacia afuera. El eje x vendría como esta, y luego sería el eje y ir a la derecha, como ese. Por lo que te imaginas, sólo estoy volando por encima de esto.

Estoy sentada en el eje z hacia abajo mirando el donut. Se verá igual a ésta. Y si te imaginas la sección transversal, este círculo derecha aquí, la parte superior del círculo si lo que buscas, quedaría sólo como ese.

Y esta distancia b es la distancia desde el eje z en el centro de cada uno de estos círculos. Para esta distancia, permítanme dibujar en el mismo color, desde el Centro para el centro de estos círculos, que va a ser b. Sólo va a seguir yendo al centro de los círculos, b. Va a ser b, que va a ser b.

Va a ser b. Desde el centro de nuestro Toro en el centro de nuestro círculo define el toro, es una distancia de b. Así que esta distancia aquí, esa distancia allí es b.

Y de b, podemos imaginar que tenemos un radio. Un radio de longitud un. Para estos círculos tienen radio de longitud un. Así es esta distancia aquí una, esta distancia es aquí una, esta distancia derecha hay una, esa distancia derecha hay un.

Si yo fuera mirar estos círculos, estos círculos tienen radio un. Y lo que vamos a hacer es tener dos parámetros. Uno es el ángulo que esta radio se hace con el x-z plano, por lo que puede imaginar el eje que sale. Permítanme hacer eso en el mismo color.

Se puede imaginar el eje que sale de aquí. Este es el plano x-z. Para un parámetro va a ser el ángulo entre nuestros radio y el plano x-z. Vamos a llamar a ese ángulo, o ese parámetro, estamos vamos a llamar que s.

Y así como s va entre 0 y 2 pi, como s va entre 0 en 2 PI, cuando el 0 solo va a ser en este momento aquí, y luego como va a 2 pi, vas a rastrear a un círculo que se ve sólo como ese. Ahora, tenemos sólo un parámetro. Lo que queremos hacer es girar entonces este círculo alrededor.

Sólo saqué es ese círculo allí. Lo que queremos hacer es exprimido todo el círculo alrededor. Así que vamos a definir otro parámetro. Llamaremos a este una t, y voy a tomar nuevamente la vista superior.

Este está un poco desordenado. Permítanme llamar otra vista superior. Como puede ver, esto es todo acerca de la visualización. Así que vamos a decir que esto es mi eje x, es mi eje y.

Y dijimos que comenzamos aquí en el plano z-y. Somos b lejos del eje z, por lo que la distancia es b. En este diagrama, el eje z es saltando sólo a nosotros.

Está apareciendo fuera de la página. Estamos viendo hacia abajo. Es como la misma vista como allí.

Y lo acaba de dibujar, cuando s es igual a 0 radianes, vamos estar aquí, exactamente un radio más a lo largo del eje y. Y luego vamos a rotar. Como nos girar alrededor, vamos a girar y luego venir aquí durante todo el camino. Es entonces cuando estamos por allí y luego volver hacia abajo.

Así que si has buscado en la parte superior del círculo, tiene va a ver como ese. Ahora, para hacer el donut, vamos a tener que Gire esta configuración toda alrededor del eje z. Recuerde, el eje z es saltando.

Está mirando hacia arriba en nosotros. Está saliendo de su pantalla de vídeo. Ahora para rotarlo, vamos a rotar este un círculo alrededor del eje z. Y para ello, vamos a definir un parámetro que nos dice cómo mucho nos hemos girado.

Esto es cuando nos hemos rotado 0 radianes. En algún momento, vamos a estar aquí, y lo haríamos han girado, esto es b así, y va nuestro círculo estar buscando como este. Quizás es este punto nuestros anillos, justo ahí.

En ese momento, nos habría girado digamos radianes p. Por lo que este parámetro de cuánto tienen gira alrededor de la eje z, cuánto hemos llegado alrededor de esa manera, estamos vamos a llamar que t. Y t también va a variar entre 0 y 2 pi.

Y quiero dejar esto muy claro. Vamos a llamar realmente el dominio que le estamos asignando de a nuestra superficie, por lo que entendemos esto completamente. Así que permítanme se?alar algunas, y luego hablaremos sobre cómo podemos realmente parametrizar en una posición función con valores vectoriales. Tan derecho aquí, vamos a llamar el t-eje.

Que es, recuerda, cuánto estamos girados en torno a el eje z en allí. Y vamos a llamar a esto aquí abajo nuestra s-eje. Y creo que esto ayudará a las cosas un poco bueno.

Cuando s es igual a 0, y variamos t justo, así que son ambos vamos a variar entre 0 y 2 pi. Así que aquí esto es 0, esto aquí es 2 pi. Permítanme hacer algunas cosas en el medio. Esto es pi, esto sería pi sobre 2 obviamente, pi más 2, Esto sería pi 3 más 4.

Haces lo mismo en el eje de p. Va a ir hasta 2 pi. Vamos a hacer eso. Así que vamos a ir hasta 2 pi.

Realmente quiero que visualizar esto, porque entonces el parametrización, creo, será bastante sencilla. Eso es 2 pi, pi, esto es pi más 2, y entonces esto es pi 3 más 4. Así que vamos a pensar en lo que parece si sólo tienes s constante en 0 y nosotros sólo variar t entre cero y 2 pi.

Y me deja hacer eso en magenta, aquí. Así que estamos manteniendo constante s, y nosotros sólo estamos variando el pi de parámetro 2. Así, si lo piensas, debe simplemente formar una curva en tres dimensiones, no de una superficie.

Porque somos sólo variable un parámetro aquí. Así que vamos a pensar en lo que se trata. Recuerde, es s, permítanme llamar mis ejes. Por lo que es mi eje x, que es mi eje y, y luego Esto es mío, estoy recibiendo messier y messier.

Esa es mi eje z, derecho–en realidad, permítanme dibujar un un poco más grande que eso. Creo que ayudará a todos nuestros visualizaciones. Muy bien.

Así que esta es mi eje x, que es mi eje y y luego mi z sube como ese. eje z. Ahora recuerdo, cuando s es igual a 0, lo que significa que no tenemos gira alrededor de este círculo en absoluto.

Eso significa que estamos aquí. Vamos a estar lejos b y luego un lejos otra vez. ?Verdad? No hemos girado alrededor de esto en absoluto. S que nos estamos fijando como igual a cero.

Así que básicamente, vamos a ser b, por lo que esto va a mantener una distancia de b lejos, y, a continuación, vamos a otro ser un visitante. El b es el centro del círculo, y luego vamos a ser otro un lejos. Vamos a estar por allí.

Esto es un plus b lejos. Y, a continuación, vamos a variar t. Recuerde, la t fue cuánto nos hemos ido alrededor del eje z. Estos fueron vistas superiores aquí.

Por lo tanto esta línea justo aquí, en nuestro dominio de s-t, podemos decir, cuando nos mapa, o parametrizarlo, le corresponden a la curva que es esencialmente el borde exterior del son circulares. Si esta es la vista superior de la rosquilla, será el exterior borde de la rosquilla, nomás. Así que permítanme dibujar el borde exterior.

Y para hacer un poco mejor, me deja dibujar los ejes en tanto el positivo y el dominio negativo. Mi gráfico puede ser un poco más fácil de visualizar las cosas. Dominio positivo y negativo, esto es negativo z allí.

Para esta línea en nuestro avión t-s, supongo que podríamos decir, esto línea magenta, tenemos s a 0 radianes y aumentamos t, esto es t es cero, esto es t es igual a 2 pi, t que es Esto es igual a pi, t es igual a pi 3 más 2, completamente Back to t es igual a 2 pi. Esta línea corresponde a esa línea, como nos gire, como nos aumentar t y mantenga constante s a 0. Ahora vamos a hacer otro punto. Vamos a decir cuando s es pi, derecho, recuerda, cuando es s en pi, hemos ido exactamente, pi es 180 grados.

Cuando s es pi, hemos ido exactamente 180 grados alrededor del círculo, alrededor de cada uno de estos círculos. Así que estamos por allí. Y ahora vamos a mantenerla constante en pi y girarla alrededor para formar nuestros anillos.

Así que vamos a formar el interior de nuestros anillos. Cuando s está en pie, y vamos a tomar t de 0, cuando s es pi y t es 0, vamos a estar, esto fue el centro de nuestro círculo, vamos a ser una por debajo. Y entonces, como nos varían, ya que incrementamos t, así que a medida que avanzamos hacia arriba a lo largo, sostiene s en pi y aumentamos t, vamos a trazar el interior de nuestras circulares, que se verán algo así. Fue mi mejor tiro a introducirlo.

Y, a continuación, podemos hacer esto varias veces. Cuando s es pi 2 más, quiero hacer varios colores diferentes, Cuando s es pi 2 más, nos hemos girado hasta aquí exactamente ?90 grados, correctas? En este punto, el PI más 2 es 90 grados. Y, a continuación, si variamos t, nos estamos esencialmente seguimiento la ?parte superior de la rosquilla, correcto? Así que permítanme Asegúrese de que lo llamo.

Para la sección de la Cruz, la parte superior de la rosquilla, vamos para empezar por aquí. Así que cuando s es pi 2 más y que lo varían a derecho y luego le muy t, estoy teniendo problemas para dibujar líneas rectas. Y entonces usted variar t, va a tener este aspecto.

Es la parte superior de ese círculo allí. La parte superior de este círculo va a estar allí. La parte superior de este círculo va a ser justo por allí.

Parte superior del círculo va a ser justo por allí. Entonces acabo de conectar los puntos. Va a ser algo así. Es la parte superior de nuestros anillos.

Si estaba haciendo esta vista superior, que sería la parte superior de la anillos, al igual. Y si quería hacer sólo a la parte inferior de la dona, aclarar la imagen, si tuviera que hacer la parte inferior de la Donut, sería la parte inferior de los anillos–ver, si me tomar s 3 pi más 4 y yo variar t, que es el fondo de nuestras donas. Así que permítanme dibujar el círculo, es justo ahí, el círculo es derecho, no podrá ver todo Si esto no era transparente. Así sería rastrear desde el fondo de la dona, sólo así.

Sé que este gráfico se está volviendo un poco confuso, pero Esperamos que usted consigue la idea. Cuando s es pi 2 nuevamente, usted va a ser hacia el exterior de nuevo de la dona. Eso también va a ser de color púrpura. Eso es lo que sucede cuando tenemos la constante s en determinado valores y variar la t.

Ahora vamos a hacer lo contrario. ?Qué sucede si mantenemos t 0, y nosotros muy la s? T es 0, esto significa que no hemos girado todavía a todos. Así que estamos en el plano z-y.

Entonces t es 0, s comenzará a 0 y lo voy a pi más 2, ese punto está allí. Luego iré a pi. Este punto es lo mismo que ese punto.

Luego irá a pi 3 más 4, luego que volveré todo el camino a 2 pi. Así, esta línea se corresponde con este círculo, allí. Nosotros podríamos mantener estas haciendo si recogemos cuando t es pi–permítanme utilizar un color diferente, que no es lo suficientemente diferente. Cuando t es pi más 2, sólo así.

Nos habría girado alrededor del eje z de 90 grados, así que ahora estamos aquí. Y ahora cuando variamos s, s comenzará aquí, y va a ir todo el camino alrededor como ese. Así, esta línea se corresponde con ese círculo.

Lo podríamos seguir haciendo como este. Cuando t es igual a pi, eso significa que tenemos todo el camino alrededor del círculo de esa forma y ahora cuando variamos s desde 0 para pi más 2, vamos a empezar todo el camino aquí, y luego nos vamos para variar, todo el camino, vamos a ir abajo y golpear todos aquellos contornos que hablábamos antes, y voy a hacer uno más, sólo para tipo de hacer esto, el andamio, claro. Este color púrpura oscuro, con suerte puedes verla.

Cuando t es pi 3 más 4, hemos girado completamente. Así que estamos en el plano x-z. Y luego cuando el usuario cambia de s, s comenzará aquí, y a medida que aumenta s, vas a ir alrededor del círculo, alrededor de el círculo, al igual.

Y por supuesto, cuando llegue el círculo completo, t sobre pi más 2, es lo mismo. Eres nuevo por aquí nuevamente. Así que esto va a ser, incluso podemos oscurecerlo del mismo color. Y esperemos que está recibiendo un sentido ahora de la parametrización.

Yo no he hecho ningún matemáticas. Realmente no he mostró usted cómo representar matemáticamente como un vector función de valor, pero esperemos que obtendrá un sentido de lo que significa parametrizar por dos parámetros. Y sólo para tener una idea de lo que estas áreas en nuestro avión s-t corresponden a esta superficie, en que supongo que se podría decir, en R3, esta peque?a plaza aquí, vamos a ver lo que está rodeado. Esta peque?a plaza, quiero hacer que escogí un cuadrado que puedo llamar perfectamente.

Así que esto aquí, cuadrado que entre, cuando observas t, es entre 0 y pi más 2. Y s está entre 0 y pi más 2. Esto aquí es esta parte de nuestro Toro.

Si se está viendo desde la parte superior, se vería de esa forma, justo allí. Os podéis imaginar, nos hemos transformado esta plaza. Incluso yo no he demostrado cómo hacerlo matemáticamente todavía.

Pero nos hemos transformado esta plaza a este parte de los anillos. Ahora, creo que hemos hecho sobre todo lo que puedo hacer en el lado de visualización. I’ll stop este video aquí.

En el siguiente video, vamos a hablar realmente acerca de cómo ?Estamos realmente parametrizar usando estos dos parámetros? Recuerde, s toma alrededor de cada uno de estos círculos y, a continuación, t nos lleva alrededor del eje z. Y si se toman todas las combinaciones de s y t, eres va a tener cada punto a lo largo de la superficie de este Toro o este donut. ?Realmente ir de una s y una t que va desde 0 a 2 pi, en ambos casos y convertirlo en una tridimensional ?Posicionar la función vectorial que definiría esta superficie? Vamos a hacerlo en el siguiente vídeo.

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descargador de youtube “Green’s theorem example 2 Multivariable Calculus”

(Comienzo del video) Digamos que tengo una trayectoria en el plano xy que es esencialmente el circulo unitario. el circulo unitario.

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Green’s theorem example 2 Multivariable Calculus

Asi que este es mi eje-y, este es mi eje-x, y nuestra trayectoria va a ser el circulo unitario. a ser el circulo unitario. Y vamos atravesarlo asi.

Lo vamos a atravesar en el sentido de las agujas del reloj Lo vamos a atravesar en el sentido de las agujas del reloj Creo que entiendes. Así que su ecuación es el círculo de las unidades. Por lo que la ecuación de esta es x^2 + y^2 = 1 tiene un radio de un círculo de 1 unidad. Y la que estamos trabajando es la integral de línea sobre esta curva c.

Es una curva cerrada c. Es una curva cerrada c. Realmente va en esa dirección de 2ydx menos 3xdy.

Por lo tanto, estamos probablemente tentados a utilizar la Teorema de Green ?y por qué no? Así que vamos a intentar. Este es nuestro trayectoria. Teorema de Green nos dice que la integral de alguna curva f punto dr sobre alguna trayectoria donde f es igual a–déjame escribir es un poco mejor.

Donde f de x, y es igual a p de x, y, más Q de x, y j. Que esta integral es igual a la doble integral sobre el región–sería la región en cuestión en este ejemplo. Sobre la región del parcial de Q con respecto a x menos el parcial de p con respecto a y.

Todos que dA, el diferencial de área. Y por supuesto, la región es lo que yo te mostró. Ahora, tal vez recuerdas–bien, hay una cosa poca y sutil, que te daría la respuesta incorrecta. En el video anterior dijimos que el teorema de Green se aplica cuando vamos en sentido contrario al de las agujas del reloj Aviso, en esta cosita en la integral, lo hice ir hacia la izquierda.

En nuestro ejemplo, la curva va hacia la derecha. La región es nuestro derecho. Teorema de Green esto se aplica cuando la región está a nuestra izquierda.

En esta situación cuando la región es a la derecha y Estamos yendo–así que esto es hacia la izquierda. Estamos yendo–así que esto es hacia la izquierda. En nuestro ejemplo, hacia dónde nos dirigimos hacia la derecha, es la región a la derecha, la teorema de Green va a ser la negación de esto. Así en nuestro ejemplo, vamos a tener la integral de c y vamos a ir en el sentido de las agujas del reloj.

Tal vez te dibuja como la de dr de punto f. Esto va a ser igual a la integral doble sobre la región. Sólo podría intercambiar estos dos–el parcial de p con respecto a y menos el parcial de q con respecto a x da.

Así que vamos a hacer eso. Así que esto va a ser igual a, en este ejemplo, la integral sobre la región–pues, vamos a mantenerlo en abstracto por ahora. Que podríamos empezar a establecer los límites, pero sólo vamos a mantener la región en abstracto.

Y ?qué es el parcial de p con respecto, vamos a recordar, Este aquí es nuestro–creo que podríamos reconocer ahora que si tomamos f punto dr vamos a obtenerlo.. El dr contribuye a esos componentes. La f contribuye a estos dos componentes.

Esto es p de x, y. Esto es p de x, y. Y entonces esto es Q de x, y.

Y lo hemos visto. No quiero ser enredado en el punto dr y tomar el producto escalar del punto una y otra vez. Creo que puede ver que esto es el producto escalar de dos vectores. Este es el componente x de f, y componente de f.

Este es el componente x del dr, y componente de dr. Así que vamos a tomar el parcial de p con respecto a y. Tomar la derivada con respecto a y, obtienes 2. Derivado de 2y es 2.

Entonces, usted obtiene 2 y luego, menos la derivada de Q con respecto a x. Derivado de esto con respecto a x es -3. Así que vamos a obtener -3 y luego todos da. Y esto es igual a la integral sobre la región.

?Qué es esto, es 2 menos -3? Es lo mismo que 2 más 3. Por eso es la integral sobre la región del 5dA. 5 es sólo una constante, por lo que podemos llevarlo fuera de la integral.

Así que esto va a tener un problema bastante sencillo como resultado. Así que esto va a ser igual a 5 veces la integral doble sobre el dA de la región R. Ahora, ?qué es esto? ?Qué es esta cosa aquí? Parece muy abstracto, pero podemos resolver esto.

Esto es sólo el área de la región. Es lo que representa esa integral doble. Suma todos los poco dA Es un dA.es un dA.

Suma las sumas infinitas de esos poco dA sobre la región. Bien, ?cuál es el área de este círculo de unidad? Aquí sólo usamos un poco de la geometría o álgebra de noveno grado–en realidad, las matemáticas antes de noveno grado ?rea es igual a pi por r al cuadrado. ?Cuál es nuestra radio? Círculo unitario, nuestra radio es 1.

La longitud es 1. Así, el área aquí es pi. Esta cosa aquí, así todo es justo igual a pi.

Entonces la respuesta a nuestra línea integral es sólo 5 pi, que es bastante sencillo. O sea, nosotros podríamos han tomado la molestia de establecer un doble integral donde tomamos la primitiva con respecto a y primera y escribimos y es igual a la raíz cuadrada negativa de 1 menos x al cuadrado por y es igual a la raíz cuadrada positiva. x va desde -1 a 1.

Pero eso habría sido muy exasperante y irritante. Y sólo tenemos que darnos cuenta, no, esto es sólo el área. Y lo interesante es que lo desafío a evaluar el mismo integral sin utilizar el teorema de Green.

Sabes, después de generar una parametrización para esta curva, va en esa dirección, teniendo los derivados de x de t y y de t. Multiplicando por la cosa apropiada y luego tomando la primitiva– mas irritante que lo hicimos sólo utilizando Teorema de Green para obtener pi por 5. Y recuerde, la razón de por qué no fue -5 por pi aquí es porque vamos en sentido horario. Si fuéramos hacia la izquierda nos podríamos aplicar la teorema de Green, y habríamos obtener menos pi 5.

De todas formas, espero que esta explicación sea útil. De todas formas, espero que esta explicación sea útil.

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descargador de youtube “Green’s theorem example 1 Multivariable Calculus”

Vamos a ver si podemos usar nuestro conocimiento del teorema de Green para resolver integrales lineales reales. De hecho, antes de mostrarles un ejemplo, quiero aclarar algo sobre el teorema de Green.

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Green’s theorem example 1 Multivariable Calculus

Todos los ejemplos que he hecho tenían una región como esta, y la parte interior era a la izquierda de lo que recorrimos. Así que todos mis ejemplos fui en sentido contrario a las manecillas del reloj y nuestra región era la la izquierda de – – si se imaginan caminando a lo largo de un camino en esa dirección, siempre fue a nuestra izquierda. Y esta es el tipo de situación en la que se aplica el teorema de Green.

Asi que si fueras a tomar una integral de linea lo largo de este camino, una integral de linea cerrada, la podemos especificar así. Pueden ver esto en algunos libros de texto – – a lo largo de la curva c de f punto dr. Esto es lo que equivale a la integral doble entre esta región r del parcial de q con respecto a x, menos el parcial de p con respecto y y el área d Y solo como recordatorio, ahora q y p vienen de los componentes de f, en esta situación, f se escribiría como f de xy es igual a P de xy a la potencia del componente i más Q de xy a la potencia del componente j. Asi que esta es una situación en la que la parte interior de la región es a la izquierda de la dirección en la que tomamos el camino.

Si esto fuera al revés, entonces tendríamos que poner un signo de menos justo acá. Si esta flecha fuera en sentido contrario, pondríamos un signo de menos y podemos hacer esto porque sabemos que cuando seguimos integrales de linea a través de vectores de campo, si vamos en la dirección contraria, se convierte en el negativo de eso Ya habíamos ense?ado eso, creo, hace 4 o 5 videos. Con eso dicho, era conveniente escribir el teorema de Green acá arriba. Vamos a resolver un problema.

Digamos que yo tengo la integral de linea y digamos que esta por encima de una curva. Voy a definir la curva en un momento. Pero digamos que la integral que estamos tratando de resolver es x al cuadrado menos y al cuadrado, dx mas 2xy dy Entonces nuestra curva – – nos están dando el límite. El límite es la región El límite es la región Así que la curva es el límite de la región dada por todos los puntos x,y tanto que x sea mayor o igual que 0, menor o igual que 1.

Y luego ‘y’ es mayor o igual que 2x al cuadrado y menor o igual que 2x. Vamos a dibujar la región con la que estamos tratando ahora. Déjenme dibujar mi eje ‘x’, o mi eje ‘y’, perdón.

My eje ‘y’ y luego mi eje ‘x’ justo acá. Y vamos a ver, ‘x’ va de 0 a 1, así que si hacemos – – esto es obviamente 0. Digamos que eso es ‘x’ es igual a 1, esos son todos los valores de ‘x’. E ‘y’ varia, esta por encima de 2x al cuadrado y debajo de 2x.

Normalmente, si obtienes números suficientemente grandes, 2x es más grande, pero si estás por debajo de 1 va a ser más peque?o que eso. Así que el límite superior es 2x, así que esta 1 coma 2. Esta es la linea ‘y’ igual a 2x, déjenme dibujar una línea más derecha que esa. La línea ‘y’ es igual a 2x y seve algo como esto.

Esto es ‘y’y es igual a 2x. Mejor haré eso en amarillo. Y luego la curva inferior es ‘y’ y va a ser más grande que 2x al cuadrado. Puede que se vea algo asi.

Y por supuesto, la región de la que están hablando es esta, pero estamos diciendo que la curva es el limite de esta región y vamos a ir en contra de las manecillas del reloj. Tengo que especificar eso. Asi que nuestra curva, en realidad podemos empezar en cualquier punto, pero vamos a ir así.

Luego llegamos a este punte y regresamos abajo a lo largo de esta curva de arriba así. Y así encontramos la condición que la parte de adentro de la región siempre va a ser a nuestra izquierda, así podemos hacer directamente el teorema de Green, no tenemos que hacer en negativo de esto. Y definamos nuestra región.

Vamos a hacer nuestra región. Esta integral de acá va a ir — Solo voy a hacerlo de la forma — ‘y’varia de ‘y’ es igual a 2x cuadrada a 2y es igual a 2x. I a lo mejor integraremos con respecto a ‘y’ primero.

Y luego ‘x’, Voy a hacer el exterior. El límite de ‘x’ va de 0 a 1. Así que no ponen todo para hacer una integral indefinida.

Ahora solo tenemos que averiguar que va en esta parte — el teorema de Green. Nuestra ‘f’ se vería algo como esto en esta situación. ‘f’ es ‘f’ de xy va a ser igual a x al cuadrado menos ‘y’ al cuadrado ‘i’ más 2xy j. Hemos visto en varios videos.

Toman el punto del producto de esto con dr, y van a obtener justamente esto. Asi que esta expresión de acá es nuestra P de xy. Y esta expresión de acá en nuestra Q de xy Así que acá adentro solo vamos a aplicar el teorema de green.

Así que el parcial de q con respecto de x — tomamos la derivada de esto con respecto de x. Solo vamos a terminar con 2y. I luego de esto vamos a restar el parcial de P con respecto a y. Asi que si toman la derivada de esto conrespecto a y eso se convierte en 0 y luego, aca tienen– la derivada con respecto a ‘y’ aca es de 2y.

Justo así. Y esto se simplifica a 2y menos, menos 2y. Esto es 2y mas, mas 2y Solo estoy restando un negativo. O esto de adentro.

y solo para ahorrar espacio, esto de adentro– es solo 4y. No quiero tener que reescribir los limites. Esto de acá es lo mismo que 4y.

El parcial de Q con respecto a ‘y’, 2y menos el parcial de P con respecto a ‘y’. Que es menos 2y. Restan un negativo y tienen un positivo.

Tienen 4y. Vamos a tomar la derivada de lo de adentro con respecto a y y vamos a obtener 2y al cuadrado. Déjenme hacerlo un poco mas despacio.

Vamos a obtener 2y al cuadrado, si toman el parcial con respecto a ‘y’ van a obtener 4y. Vamos a evaluar esto desde ‘y’ es igual a 2x al cuadrado hasta y es igual a 2x Y luego por supuesto, todavía tenemos la integral del exterior acá. x va de 0 a 1 dx.

Esto va a ser igual a la integral de 0 a 1 y luego evaluamos esto primero a 2x. Así que ponen 2x acá, 2x al cuadrado es 4x al cuadrado. 2 al cuadrado, x al cuadrado, así que 4x al cuadrado por 2 va a ser 8x al cuadrado.

Menos– ponemos esto acá. 2x cuadrada al cuadrado es 2x a la cuarta. 4x a la cuarta al cuadrado es 8x a la cuarta. Hice esto bien? 2x cuadrada– voy a ponerlo acá por y, substituyo ‘y’con esto Esto es al cuadrado es 4x a la cuarta potencia por 2 es 8x x a la cuarta potencia.

Muy bien. Bueno Ahora dx Ahora esto es sencillamente un integral uni-dimensional. Esto va a ser igual a– lo voy a hacer aca.

Esto va a ser igual a la anti-derivada de 8x al cuadrado es 8/3 x a la tercera potencia. Y luego la anti-derivada de 8x a la cuarta es menos 8/5 x a la quita. Luego vamos a tener que evaluar esto de 0 a 1, o podemos poner una peque?a linea aca. Cuando ponen 1 acá obtienen — lo voy a hacer en un color diferente.

Cuando tienen 8/5 por 1 a la tercera potencia, que es 8/5 menos 8/5 menos 8/5. Y luego tenemos menos– cuando ponen 0 acá van a obtener un montón de 0’s. Oh, cometí un error.

Hubiera sido un desastre. Es 8/3. 8/3 por 1 a la tercera menos 8/5 por 1 a la quinta, esto es menos 8/5.

Y luego, cuando restan el 0, evalúan 0 acá, van a obtener un montón de 0’s así que no tienen que hacer nada más. Asi que ahora solo tenemos que restar estas dos fracciones. Vamos a obtener un común denominador de 15. 8/3 es lo mismo que si multiplicamos el numerador y el denominador por 5.

Esto es 40/15. Y luego si multiplicamos este numerador y el denominador por 3, va a ser 24/15. Así que menos 24/15 y vamos a obtener que es igual a 16/15.

Y así, usando el teorema de green pudimos encontrar la respuesta a esta integral de acá. Es igual a 16/15. Con suerte encontraron esto útil.

Voy a hacer uno más de estos ejemplos en el siguiente video.

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Digamos que tenemos el caminho mismo apresentado in el vídeo passado. Dibujamos mi eixo y, eso es mi eixo x.

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Green’s theorem proof (part 2) Multivariable Calculus

Digamos que o camino tiene esta forma, parecendo-se com isto. Es el mismo que teniamos en el vídeo pasado Posibilemente no parece exactamente igual, me permite ver lo que yo hice en el video pasado Tenía aquella forma en el último vídeo, pero parecido bastante. Digamos que estamos lidando con exactamente la misma curva del último vídeo. La podemos llamar de curva C En el último vídeo liadmos con um vector que tenía vectores en la dirección i.

Construyimos con otro vector que tenía apenas vectores en dirección j, o la dirección vertical. Digamos que q, el campo de vectores q de xy, es igual a Q maiúsculo de xy vezes j, y vamos a preocuparnos vamos a preocuparnos con a integral fechada de línea sobre el camino c de q punto dr. Y ya lo hemos visto.

dr puede ser reescrito como dx vezes i, plus dy vezes j. Si ibamos a tomar el producto punto de estos dos, esta integral de línea será exactamente el mismo. Será la misma como la integral línea fechada sobre c de q punto dr.

Q tiene apenas componente j. Pues, si se toma su 0i, 0 vezes dx es 0, y vas a tener Q (x,y) vezes dy. Tenían no componente i, será apenas Q, Lo cambio al color mismo otra vez, Q(x,y) vejez dy. Eso es el producto punto.

No había un componente i, por eso eliminamos el dx. Vemos si hay una forma de resolver esta Integral línea sin recurrir a un parámetro tercero, t. Exactamente como hicimos en el último vídeo. Actulamente, será praticamente identico, estamos apenas lidando con y’s ahora en vez de x?s.

Lo que podemos hacer es, que podemos decir, pues, qué es nuestro minimo y e o nuestro máximo y? Nuestro mínimo y, digamos que está aqui. El minimo y, lo llamamos a. Digamos que nuestro máximo de y que nos obtenemos es exactamente aqui.

Lo llamamos b. Ah! Assim como no ultimo, eu esqueci de dizer a dire??o da curva. Mas esta é a mesma curva da última vez, que estamos indo em sentido antí-horário. A mesma curva, o mesmo caminho.

Ent?o estamos indo nesta dire??o. Agora como no último video, dividimos em duas fun??es de xs, dois ys como fun??o de x. Agora queremos lidar com os ys.

Vamos dividir em duas fun??es de y. Ent?o se dividirmos esta curva em duas, estes s?o os nossos pontos extremos, vamos chamar este caminho daqui, vamos chamar este caminho de, de y, e aquele de x, ent?o aqui, ao longo deste caminho, x é igual a..

Poderia apenas escrever caminho 2, ou c2. Poderiamos dizer que, x é igual a x2 de y. Este é o caminho.

E ent?o o primeiro caminho, ou este n?o tem que ser o primeiro caminho, dependendo onde come?a. Você pode come?ar onde quiser. Digamos este em magenta. Vamos chamar de caminho 1, e podemos dizer que, este é definido como x é igual a x1 de y.

? um pouco confuso quando você tem x como fun??o de y, Mas na verdade é completamente analogo ao que fizemos no último vídeo. Estamos apenas trocando x e y. Estamos agora expressando x como uma fun??o de y, ao invés de y como fun??o de x. Ent?o temosduas curvas.

Você pode imaginar apenas inverter, e estamos fazendo exatamente a mesma coisa que no último vídeo, apenas agora em termos de y Mas se você olhar para isso dessa forma, esta integral de linha pode ser reescrita como sendo igual a integral, vamos resolver a curva c2 primeiro. Esta é a integral de b e a. Come?amos em b, e vamos até a. Isto é, estamos voltando do y elevado para o y baixo.

A integral de b para a de Q, em cor cinza. Ao invés de ter um x aqui, que conhecemos ao longo desta curva aqui, x é igual a, nos queremos tudo em termos de y. Ent?o aqui, x é igual a x2 de y. Logo Q de x2 de y, x2 de y virgula y, talvez eu esteja usando cores demais aqui, mas acho que você entendeu a idéia.

dy. dy. Así que esta es la parte de la línea integral, poco más de Esta curva de la mano izquierda.

Y, a continuación, vamos a agregar que la integral de línea, o realmente sólo un integral regular ahora, y es igual a una y es igual a b q, en lugar de x es igual a x 2, ahora x es igual a 1 x de y, es igual a esta curva, esto otra función. Así 1 x de y, x 1 y coma y, dy, y podemos hacer exactamente lo que lo hicimos en el video anterior. En lugar de, no nos gusta el número más grande en la parte inferior, por lo que vamos a intercambiar estos dos alrededor. Así que si usted intercambiar estos dos, si haces esto en una, y Esto en un b, que hace que la negativa de la integral, al intercambiar los dos, cambiar la dirección.

Esto es exactamente lo que hicimos en el último video, así que esperemos no es nada demasiado elegantes. Pero ahora que tenemos los mismos límites de la integración, estas dos integrales definidas, sólo podemos escribir como una integral definida. Así que esto va a ser igual a la integral de un a b.

Y voy a escribir esta en primer lugar, ya que es positiva. Voy a escribir en éste. Q de x 1 y coma y, menos ésta.

?Verdad? Aquí tenemos el signo. Menos de 2 x y y q dy. Permítanme hacer eso en ese color neutro.

dy, que se multiplica por todas estas cosas. Distribuyen la dy, creo que usted consigue la idea. Esto es idéntico a lo que hicimos en el último video. Y esto podría ser reescrita como, esto es igual a la integral de una a la b y dentro de la integral, nosotros estamos evaluando la función de q de xy de los límites, la parte superior límites, donde el límite superior va a ser de x es igual a 1 x de y, y es el límite inferior x es igual a 2 x de y.

?Verdad? Todos los x sustituimos con eso y luego conseguimos algunos expresión, y luego de eso, nos resta esto con x sustituido como 2 x de y. Eso es exactamente lo que hicimos, y como me dijo en el último video, Somos el tipo de curso de la dirección inversa que nosotros normalmente ir en integrales definidas. Normalmente llegamos a esto y, a continuación, la siguiente es el paso, conseguimos esto.

Pero ahora vamos en la dirección contraria, pero diferencia de los mismos. Y todo eso tiempos dy. Y al igual que vimos en el último video, esto me deja hacerlo en orange, esta expresión aquí, realmente me deja se?alar dy un poco fuera más por lo que no obtener todo congestionada.

Permítanme hacer dy aquí. Esta expresión, esta expresión completa, es la misma exacta lo que la integral de x es igual a, sólo puedo escribirlo aquí, me permito escribir en los mismos colores. 2 x de y a x 1 y x 1 y el parcial de q con respecto a x dx. Quiero que quede muy claro.

Esto es, al menos en mi mente, la primera parte, un poco confuso. Pero si acabo de ver una integral como este, es el dentro de una integral doble. Y lo es.

El exterior es lo que vimos allí, la integral desde un b, dy. Pero si sólo se ha visto en una integral doble, lo que lo haría hacer es que tomaría la primitiva, la antiderivative de esto con respecto a x, el primitiva del parcial de q con respecto a x con respecto a x, va a ser solo q de xy. Y ya que es una integral definida, se evaluaría 1 x de y y, a continuación, reste de eso, esta función evalúan 2 x de y, que es exactamente lo que hicimos. Así que esperemos aprecias.

Y, a continuación, tenemos nuestro resultado, que es muy similar el último resultado. ?Qué significa esta representan integral doble? Representa, pues, nada, si tienes cualquier integral doble que va desde–si imaginar, se trata de alguna función, Permítanme dibujar en tres dimensiones. Esto es realmente casi una revisión de lo que hicimos en el último video. Si ese es el eje y, que es nuestro eje x, es nuestro eje z.

Se trata de alguna función de x y y, por lo que algunas de superficie le puede imaginar el plano xy. Se trata de alguna superficie. Lo podríamos llamar el parcial de q con respecto a x.

Y lo que es esta integral doble, esto es esencialmente definición de una región y usted puede tipo de vista este dx veces DY como especie de un peque?o diferencial de área. Por lo tanto la región en cuestión, los puntos de frontera, son de y va, y va desde, en la parte inferior, va desde 2 x de y, que vimos fue una curva que se ve algo como esto. Que es la más baja y y aquí, si trazamos en dos dimensiones, se trata de la curva y inferior. La curva y superior es 1 x de y, por lo que se ve la curva y superior algo así.

La curva y superior pasa algo parecido. Tan x varía de la curva y inferior a la superior ?y curva, derecha? Eso es lo que estamos haciendo aquí. Y, a continuación, y varía de un a b. Y por lo que esencialmente está diciendo esto, tomemos el doble integral sobre esta región aquí de esta función.

Por lo que es esencialmente el volumen, si este es el techo, y este límite es esencialmente la pared. Es el volumen de esa sala. Y no sabe de lo que vería cuando llega aquí. Pero puede que como ese tipo de imaginar algo.

Sería el volumen de ese. Eso es lo que nos estamos tomando. Este es el resultado idéntico que llegamos en el último video. Y esto es una cosa bastante limpio.

Tan de repente, este vector, que–y q de xy, me no llamar como lo hice la última vez, Q de xy sólo tiene [? cosas?] en la dirección j, tan sólo tiene, si tuviera que se?alar su campo vectorial, los vectores sólo ir arriba y abajo. No tienen ningún componente horizontal a ellos. Pero vimos, cuando se inicia con un campo vectorial como este, tomar la línea integral alrededor de este bucle cerrado y I’ll reescribir aquí, usted tomar esta línea integral alrededor de este cerrado bucle de q punto dr, que es igual a la integral alrededor de el bucle cerrado de q de xy dy.

Sólo averiguamos que es equivalente a la doble integral sobre la región. Se trata de la región. ?Verdad? Eso es exactamente lo que estamos haciendo aquí. Si sólo dio la región, tiene que definirlo, lo haría decir, bueno, x se va, se va de este función y esa función, y va desde un b, y que desee revisar los vídeos integrales dobles, si ?te confunde.

Así que nos estamos tomando la doble integral sobre la región de la parcial de q con respecto a x, d–bueno, podría escribir dx ?dy, o usted puede incluso derecho da un poco, derecho? El diferencial de área, a la derecha, que podemos imaginar como un da, que es lo mismo que un dx dy. Y si tenemos combinar con el último video y esto son una especie de el neat ponerla parte junto, el resultado de el último video fue esto. Que si tenía una función que está completamente definida en términos de x, teníamos esto, aquí.

Hemos tenido ese resultado. En realidad, me permito copiar y pegar ambos a un bonito limpio parte de mi pizarra, y entonces podemos hacer la conclusión emocionante. Me deja copiar y pegar.

Eso es lo que tenemos en el último video. Y este video, llegamos a este resultado. Sólo podrá copiar y pegar la parte derecha.

Ya puede predecir dónde va. Y, a continuación, me permito pegarlo aquí. Este es el resultado de este video.

Ahora vamos a pensar en un campo vectorial arbitrario pero es definido como, todo lo que en rosa, vamos a decir f es un vector el campo definido por el plano xy y f es igual a p de xy además q de xy j. Casi te imaginas f ser la adición de nuestro vector campos, P y Q, que hicimos en los dos últimos vídeos. Q fue este video y lo hicimos p en el video antes de eso.

Pero esto es realmente cualquier campo vectorial arbitrario. Y supongamos que deseamos tomar el vector de campo, o perdón, la integral de línea del campo vectorial por algún camino. Podría ser el mismo que hemos hecho, que ha sido uno muy arbitrario.

Es realmente cualquier trazado arbitrario. Así que permítanme se?alar algún camino arbitrario aquí. Digamos, que es mi camino arbitrario, mi curva arbitraria.

Digamos que va en esa dirección en sentido antihorario, sólo así. Y lo que me interesa la integral de línea, la línea cerrada es integral, alrededor de ese camino de dr de punto F. Y hemos visto varias veces.

Dr es igual a dx además dy veces j. Para que esta línea integral puede reescribirse como, esto es igual la línea integral alrededor de la c de ruta. F punto dr, que va a ser este término veces dx, así que p de xy veces dx más este término, Q de xy veces dy.

Y todo este asunto, básicamente esto es lo mismo lo que la integral de línea de p de xy dx, además de la línea integral de q de xy dy. Ahora, ?cuáles son estas cosas? Esto es lo que averiguamos en el primer video, esto es lo que averiguamos justo ahora en este video. Esto aquí es exactamente lo mismo como que allí.

Así que esto va a ser igual a la integral doble sobre esto región justo aquí, de al menos parcial de p con respecto a y. En lugar de un dx dy, podríamos decir poco más del diferencial de área. Y entonces más este uno, este resultado. Q.

Esto aquí es exactamente lo que nos demostró sólo es exactamente lo que mostramos en este video solo. Por lo que es más, lo dejo ahí arriba, tal vez podrá hacerlo el amarillo, además de la integral doble sobre la misma región de los parciales de q con respecto a x. da, donde es justo dx dy, o dx dy, puede cambiar el orden, es el diferencial de área. Y ahora, podemos a?adir estas dos integrales.

?Qué obtenemos? Así que esto es igual a, y esto es una especie de nuestro gran, gran conclusión. Quizás magenta se llama aquí. La integral doble sobre la región de, voy a escribir este en primer lugar porque es positivo, que es negativo, de la parcial de q con respecto a x, menos el parcial de p con respecto a y d, el diferencial de área. Este es nuestro gran punto.

Me permito escribir aquí. La integral de línea del bucle cerrado de dr de punto f es igual a la doble integral de esta expresión. Y es algo, recuerda. Nos estamos tomando la función que fue asociada con la componente x, o el componente i, nos estamos tomando la parcial con respecto a y.

Y la función que fue asociada con la componente y, estamos tomando el parcial con respecto a x. Y la primera de ellas, estamos tomando el negativo de. Es una buena forma de recordarlo.

Pero este resultado a la derecha aquí, esto es, tal vez debería escribir en verde, que esto es el teorema de Green. Y es una manera ordenada para relacionar una integral de línea de un campo vectorial tiene estas derivadas parciales, suponiendo que tiene Estas derivadas parciales, a la región, a un doble integral de la región. Ahora, y esto es un poco más de una nota al margen, hemos visto en varios videos antes, hemos aprendido si f es conservador, que significa que es el gradiente de alguna función, que es independiente de la ruta, que la integral cerrada alrededor de la ruta es igual a 0. Y eso es cierto.

Por lo que nos dice que si f es conservador, esta cosa correcta aquí debe ser igual a 0. Es la única manera que siempre vas a exigir esta integral toda va a ser igual, va a ser igual a 0 sobre cualquier, cualquier, cualquier región. Estoy seguro de que usted podría pensar en situaciones donde se se cancelan entre sí fuera, pero realmente en cualquier región. Es la única manera de que esto va a ser cierto.

Que estas dos cosas van a ser igual a 0. Así se podría decir, parcial de q con respecto a x, menos el parcial de p con respecto a y, tiene que ser igual a 0, o estas dos cosas tienen iguales entre sí. O.

Se trata de un tipo de corolario teorema de Green. Tipo de fruto colgando bajo que usted podría haber averiguado. El parcial de q con respecto a x es igual al parcial de p con respecto a y.

Y cuando usted estudia ecuaciones diferenciales exactas ecuaciones, verá esto mucho más. Y efectivamente, bueno, no voy a demasiado, pero conservador campos, en realidad, eres la forma diferencial de lo que Consulte en las integrales de línea, si es conservador, sería ser una ecuación exacta. Pero no vamos a entrar en demasiado.

Pero Ojalá pudiera ver los paralelismos si ya ha ejecutado en las ecuaciones exactas en ecuaciones diferenciales. Pero este es el gran punto y tal vez hagamos algunos ejemplos de uso de este punto en el siguiente video.

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