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Wir werden uns zuerst einen Eindruck von der Steigung einer Line verschaffen, sp?ter in unserer Algebra Karriere, aber ich habe herausgefunden, dass es nicht wehtut ein bisschen zu wiederholen. Lass mich ein paar Achsen zeichnen.

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Derivative as slope of a tangent line Taking derivatives Differential Calculus

Das ist meine Y-Achse. Vielleicht sollte ich sie meine f-von-x-Achse nennen. Y ist gleich f von x.

Lass mich meine x-Achse zeichnen. Genau so, das ist meine x-Achse. Und lass mich eine Linie zeichnen, lass mich eine Linie wie diese zeichnen.

Und was wir tun wollen ist uns selbst daran erinnern, wie wir die Steigung dieser Linie finden. Und was wir tun, ist, wir nehmen zwei Punkte auf der Linie, lass uns sagen wir nehmen diesen Punkt, genau hier. Nehmen wir an, dass der Punkt x ist gleich a. Und was w?re das dann? Das w?re der Punkt f von a, wo die Funktion eine Linie sein wird.

Wir k?nnten schreiben, dass f von x gleich mx plus b w?re. Wir wissen nicht, was m und b ist, aber das ist alles ein wenig Wiederholung. Also das ist a.

Und dann ist der y-Wert das was mit der Funkton geschieht, wenn du es , so dass dieser Punkt stimmt es. Und dann k?nnten wir einen weiteren Punkt auf dieser Linie. Sagen wir, wir nehmen Punkt b, genau dort.

Und dann dieses Koordinatensystem hier sein wird Punkt b, f von b. Right? Denn das ist genau der Punkt, wenn Sie zu bewerten die Funktion bei b. Sie setzen b in hier, wirst du zu diesem Zeitpunkt genau dort zu bekommen.

So lassen Sie mich nur machen eine kleine Linie recht. Damit ist f von b, genau dort. Eigentlich m?chte ich klarstellen, dass dieses Koordinatensystems Recht ist der Punkt a, f a. So wie finden wir die Steigung zwischen diesen 2 Punkten oder mehr in der Regel, von dieser ganzen Linie? Da ganze Hang ist konsistent die ganzen Weg hindurch.

Und wir wissen, dass, sobald wir den Hang zu finden, das ist eigentlich vor sich geht, um den Wert dieser m. Das ist alles eine ?berprüfung Ihrer Algebra, aber wie wir es tun? Nun, ein paar M?glichkeiten, um darüber nachzudenken. Steigung ist gleich überfahren steigen. Man k?nnte, die gesehen haben, wenn Sie zum ersten Mal h?rte Algebra.

Oder eine andere Art des Schreibens, es ist zu ?ndern in y über ?nderungen in x. So lasst uns herausfinden, was die Ver?nderung, warum über die ?nderung in x ist für diesen speziellen Fall. So die ?nderung in y ist gleich was? Nun, lasst uns einfach nehmen, k?nnen Sie diesen Kerl als das zu nehmen ersten Punkt, oder der Typ als der erste Punkt. Aber seit dieser Kerl hat einen gr??eren x und ein gr??erer y, lasst uns mit ihm zu beginnen.

Die ?nderung in y zwischen dem Mann und der Kerl ist dieser Abstand, genau hier. Also lass mich ziehen ein kleines Dreieck. Dieser Abstand rechts gibt es eine ?nderung in y. Oder ich k?nnte einfach übertragen auf die y-Achse.

Dies ist die ?nderung in y. Das ist Ihre ?nderung in y, dass der Abstand. Also, was ist dieser Abstand? Es ist f von b minus f von a.

So ist es gleich f von b minus f von a. Das ist Ihre ?nderung in y. Was ist nun die ?nderung in x Die Steigung ist der Wandel in y über ?nderungen in x.

Also, was unsere Ver?nderung in x? Was ist dieser Abstand? Denken Sie daran, wir nehmen diese auf den ersten Punkt sein, so nahmen wir seine y minus der andere Punkt ist y. So konsequent zu sein, wir gehen zu müssen, diese zu nehmen Punkt x minus dieser Stelle x. So dieser Stelle die x-Koordinate ist b.

So, es wird b minus a. werden Und einfach so, wenn man wusste, dass die Gleichung dieser Linie, oder Wenn Sie die Koordinaten dieser 2 Punkte h?tten, würden Sie nur stecken Sie sie in genau hier, und Sie würden Ihren Hang zu bekommen. Das einfach. Und das kommt direkt aus Ihrem Algebra 1-Klasse.

Und lassen Sie mich nur, nur um sicherzustellen, dass es für Sie konkret, wenn Das war der Punkt 2, 3, und sagen wir mal, dass diese, hier oben, war der Punkt, 5, 7, dann, wenn wir die Steigung finden wollten dieser Linie, würden wir es 7 minus 3, das w?re unser ?nderung werden y, würde dies 7 sein, und dies würde 3, und dann werden wir tun, dass über 5 minus 2. Denn dies w?re eine 5 sein, und dies würde eine 2 sein, und so diese w?re die ?nderung in x. 5 minus 2.

So 7 minus 3 ist 4 und 5 minus 2 ist 3. so dass Ihre Hang würde 4 / 3 sein. Nun wollen wir sehen, ob wir dies zu verallgemeinern. Und das ist, was das neue Konzept, dass wir gehen zu lernen, wie wir in die Analysis zu vertiefen.

Mal sehen, ob wir das irgendwie verallgemeinern kann, um eine Kurve. Lassen Sie uns also sagen, ich habe eine Kurve. Wir haben, um eine Kurve, bevor wir verallgemeinern kann es um eine Kurve. Lassen Sie mich nach unten scrollen ein wenig.

Na ja, eigentlich habe ich diesen hier verlassen wollen, zeigen Sie die ?hnlichkeit. Sagen wir, ich habe, werde ich halten es ziemlich allgemein jetzt. Sagen wir, ich habe eine Kurve. Ich mache es sich um eine vertraut wirkende Kurve.

Lassen Sie uns sagen, es ist die Kurve y gleich x zum Quadrat, die sieht so ?hnlich. Und ich m?chte, um die Steigung zu finden. Sagen wir, ich m?chte den Hang zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden.

Und tats?chlich, noch bevor darüber zu reden, lasst uns auch darüber nachzudenken, was es bedeutet, die Steigung der Kurve zu finden. Hier wurde der Hang derselben die ganze Zeit, nicht wahr? Aber auf einer Kurve Ihre Neigung ist im Wandel. Und nur um ein Gespür für das bedeutet, zu bekommen, ist, was ist die Steigung hier? Ihr Hang hier ist die Steigung der Tangente. Die Linie gerade noch berührt.

Das ist der Hang dort drüben. Es ist eine negative Steigung. Dann hier ist Ihr Hang immer noch negativ, aber es ist ein etwas weniger negativ.

Es geht so. Ich wei? nicht, ob ich das tat, zog die. Lass es mich tun in einer anderen Farbe.

Lass es mich tun in lila. So hier ist Ihr Hang etwas weniger negativ. Es ist ein etwas weniger nach unten abfallenden Linie. Und dann, wenn du gehst hier, an der 0-Punkt, genau hier, Ihre Steigung ist ziemlich flach, weil die horizontale Linie, y gleich 0 ist, ist Tangente an diese Kurve.

Und dann, wie Sie mehr positive x gehen, dann ist Ihr Hang beginnt zu. Ich versuche, eine Tangente zu ziehen. Und hier noch die zunehmende, es ist sogar noch st?rker. Also Ihr Hang ver?ndert die ganze Zeit, und dies ist eine Art der gro?en Ver?nderung, wenn Sie von einer go passiert Linie um eine Kurve.

Eine Linie, ist Ihre Neigung derselben die ganze Zeit. Man konnte zwei beliebigen Punkten einer Linie, nehmen Sie die ?nderung in y über die ?nderung in x, und Sie erhalten die Steigung für der ganzen Linie. Aber wie Sie sehen schon, es geht um ein wenig zu etwas mehr nuanciert sein, wenn wir es für eine Kurve zu tun.

Denn es h?ngt davon ab welchem ??Punkt wir reden. Wir k?nnen nicht einfach sagen, was ist die Steigung dieser Kurve? Die Steigung ist an jedem Punkt entlang der Kurve anders. Es ?ndert.

Wenn wir hier oben zu gehen, es geht um noch steiler. Es wird so etwas wie die aussehen. Lassen Sie uns also ein bisschen ein Experiment zu versuchen.

Und ich wei?, wie dieses Experiment herausstellt, so wird es nicht zu viel Risiko. Lassen Sie mich zu ziehen besser. Das ist also mein y-Achse, und das ist mein x-Achse. Nennen wir diese, k?nnen wir nennen das y, oder wir k?nnen anrufen dies f von x-Achse.

So oder so. Und lassen Sie mich ziehe meine Kurve wieder. Und ich werde einfach ziehen sie in die positive koordinieren, so.

Das ist meine Kurve. Und was, wenn ich an der Piste genau dort finden? Was kann ich tun? Nun, auf der Grundlage unserer Definition der Hang, brauchen wir 2 Punkte zu finden, einem Hang, nicht wahr? Hier, glaube ich nicht wissen, wie man die Steigung mit 1 Punkt zu finden. So lasst uns einfach nennen diesen Punkt hier, das wird x.

Wir werden allgemein sein. Das wird unseren Standpunkt x. Aber finden Sie unser Hang, nach unseren traditionellen Algebra 1 Definition eines Hanges, brauchen wir 2 Punkte. Lassen Sie uns also einen weiteren Punkt in hier.

Nehmen wir nur eine etwas gr??ere Version dieses x. So sagen wir, wir nehmen wollen, tats?chlich, lass es uns tun, auch weiter drau?en, nur weil es wird etwas unübersichtlich anders. So sagen wir, wir haben diesen Punkt hier genau richtig. Und der Unterschied, es ist nur h gr??er als x.

Oder eigentlich, anstatt zu sagen h gr??er, lasst uns einfach, gut lassen Sie mich nur sagen, h gr??er. Das ist also x plus h. Das ist, was dieser Punkt recht. So was geht in die entsprechenden y-Koordinaten werden auf der Kurve? Nun, das ist die Kurve y gleich f von x.

So diesem Punkt Recht hier wird f unseres werden insbesondere x gleich hier. Und vielleicht um zu zeigen, dass ich unter einer bestimmten x, vielleicht Ich werde ein wenig hier 0 zu tun. Das ist x Null, ist dies x nichts Plus h. Dies ist f von x nichts.

Und dann, was soll denn das hier oben, diesen Punkt hier, zeigen, dass hier oben? Seine y-Koordinate wird sich f von f dieser x-Koordinate werden, die ich verschoben über ein wenig. Es ist recht. f dieser x-Koordinate, die f von x nichts Plus h. Das ist seine y-Koordinate.

Also, was ist ein Hang werde zwischen diesen beiden Punkten, die sind relativ nah beieinander? Denken Sie daran, das wird nicht an der Piste werden nur an dieser Stelle. Dies ist die Steigung der Geraden zwischen diesen beiden Punkten. Und wenn ich tats?chlich zeichnen es aus, w?re es tats?chlich eine werden Sekante zwischen, um die Kurve. Es w?re also die Kurve zweimal schneiden, einmal an dieser Stelle, einmal an dieser Stelle.

Sie k?nnen es nicht sehen. Wenn ich es blies ein wenig, würde es aussehen etwas wie dieses. 211 00:09:41,36 -> 00:09:47,51 Das ist unser Koordinatensystem x Null f von x Null, und hier oben ist unser Koordinatensystem für diesen Punkt, was sein würde, die x-Koordinate x würde nichts Plus h, und die y-Koordinate werden würde f von x nichts Plus h. werden Gerade was diese Funktion ist, sind wir bewerten es in diesem x-Koordinate Das ist alles.

So sind die 2 Punkte. Also vielleicht ein guter Anfang, nur sagen, hey, was ist das Steigung dieser Sekante? Und genau wie wir im vorigen Beispiel haben, finden Sie das Ver?nderung in y, und teilen Sie, dass durch die ?nderung in x. Lassen Sie mich ziehen Sie es hier.

Ihre ?nderung in y würde dieses Recht hier zu sein, ?ndern Sie in y, und dann die ?nderung in x w?re, dass genau dort. Also, was ist die Steigung werde der Sekante werden? Die Steigung wird als gleich, lasst uns mit diesem Start Punkt hier oben, nur weil es gr??er zu sein scheint. Deshalb wollen wir eine Ver?nderung in y. so dass dieser Wert genau hier, diese y-Wert ist f von x nichts Plus h.

Ich habe gerade dieser Typ ausgewertet hier. Sieht aus wie ein schickes Begriff, aber es bedeutet,, Look. Die etwas gr??eren x beurteilen ihre y-Koordinate.

Wo ist die Kurve bei diesem Wert von x. Damit wird sein, so dass die Ver?nderung in y sein wird af von x nichts Plus h. Das ist nur die y-Koordinate hier.

Minus diesem y-Koordinate hier. So minus f von x nichts. Damit entspricht unser Wandel in y. Und Sie wollen, dass durch die ?nderung in x.

teilen 242 00:11:21,09 -> 00:11:21,8 Also, was ist das? Dies ist die gr??ere x-Wert. Wir begannen mit diesem Koordinatensystem, so beginnen wir mit seinen x-Koordinate. Es ist also x Null und h, x Null Plus h.

Minus diesem x-Koordinate. Nun, wir abgeholt eine allgemeine Nummer. Es ist x nichts.

Damit wird über die ?nderung in x. Einfach so. Das ist also die Steigung der Sekante. Wir haben immer noch nicht beantwortet, was den Hang direkt an, dass sich Punkt, aber vielleicht wird uns helfen, dorthin zu gelangen.

Wenn wir dies zu vereinfachen, so lassen Sie mich aufschreiben wie diese. Die Steigung der Sekante, lassen Sie mich das richtig zu schreiben. Die Steigung der Sekante ist gleich dem Wert des Funktion an dieser Stelle f von x nichts Plus h, abzüglich des Werts der Funktion hier, mein f von x nichts.

So, das gerade erz?hlt uns der Wechsel in y. Es ist genau die gleiche Definition der Steigung wir immer benutzt habe. ?ber die ?nderung in x. Und wir k?nnen dies zu vereinfachen.

Wir haben x nichts Plus h minus x nichts. So x Null minus x nichts aufheben, so dass Sie haben, dass über h. Das ist also gleich unseren Wandel in y über ?nderungen in x. Fair enough.

Aber ich off begann zu sagen, ich m?chte die Steigung zu finden die Linie an diesem Punkt, an dieser Stelle, genau hier. Dies ist die verkleinerte Version davon. Also, was kann ich tun? Nun, I definiert zweiten Punkt hier nur der erste Punkt plus einige h.

Und wir haben etwas in unserem Toolkit mit dem Namen eine Grenze. Das h ist nur eine allgemeine Nummer. Es k?nnte 10 sein, es k?nnte 2 sein, k?nnte es 0.

02, k?nnte es 1 sein mal 10, um die negativen 100. Es k?nnte eine beliebig kleine Zahl sein. Also, was passiert, was passieren würde, zumindest theoretisch, wenn ich den Grenzwert für h gegen 0? Also, wissen Sie, zuerst, vielleicht h ist dieser recht gro?en Anzahl über hier, und dann, wenn ich ha etwas kleiner zu nehmen, dann w?re ich Finden der Steigung dieser Sekante.

Wenn ich h dauerte, um noch ein wenig kleiner, würde ich finden, die Steigung dieser Sekante. Wenn h ist ein wenig kleiner, würde ich zu finden die Steigung dieser Linie. So wie h 0 n?hert, werde ich n?her und n?her zu Finden der Steigung der Geraden gleich zu meinem Standpunkt in Frage. Selbstverst?ndlich, wenn h ist eine gro?e Nummer, ist mein Sekante geht zu weit entfernt von der Piste genau an diesem Punkt recht.

Aber wenn h 0.0000001, wenn es eine verschwindend kleine Zahl, dann werde ich ganz sch?n nahe. Also, was passiert, wenn ich die Grenze als h nehmen gegen Null geht das? So die Grenze als h gegen 0 meiner Sekante Hang. Von Lassen Sie mich auf grün schalten.

f von x nichts Plus h minus f von x nichts, das war mein Wechsel in y, über h, die meinen Wechsel in x. Und nun noch zu kl?ren, was, und manchmal werden Sie sehe es in anderen Kalkül Bücher, manchmal anstelle eines h, werden sie ein Delta x hier zu schreiben. Wo dieser zweite Punkt w?re, wie x Null definiert worden plus Delta x, und dann würde dies nur vereinfacht haben delta x drüben, und wir würden den Grenzübergang delta x 0 n?hert.

Die genau dasselbe. h, delta x, spielt keine Rolle. Wir nehmen h als der Unterschied zwischen einer x Punkt und dann die h?heren x Punkt, und dann sind wir gerade dabei zu den Grenzwert wie die gegen Null geht. Wir k?nnten, dass delta x genauso gut genannt haben.

Aber ich werde dieses Ding, das die Steigung gleich anrufen der Tangente, und es ist gleich der Steigung der Tangente, werde ich nenne das die Ableitung von f. Lassen Sie mich aufschreiben. 319 00:15:05,58 -> 00:15:10,65 Und ich werde sagen, dass dies gleich f prime von x ist Und das wird eine andere Funktion sein.

Da erinnern sich die Steigung ?ndert bei jedem x-Wert. Egal, was x-Wert, den Sie ausw?hlen, ist die Steigung anders sein. Muss nicht sein, aber die Art und Weise zog ich diese Kurve, ist es anders. Es k?nnen unterschiedlich sein.

So, jetzt, ihr gebt mir einen x-Wert in hier, ich werde gelten diese Formel hier rüber, und dann kann ich Ihnen sagen, die Steigung an diesem Punkt. Und es scheint alles sehr verwirrend und vielleicht abstrakt an dieser Stelle. In den n?chsten video, werde ich tats?chlich tun ein Beispiel für Berechnung Hang, und es wird es alles, was ein etwas mehr Beton.

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