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Angenommen, ich habe einen Pfad in der Xy-Ebene, der im wesentlichen der Einheitskreis ist. Also meine y-Achse, dies ist meine x-Achse, und unser Pfad wird der Einheitskreis sein.

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Green’s theorem example 2 Multivariable Calculus

Und wir es einfach so durchlaufen zu müssen. Wir werden es im Uhrzeigersinn durchlaufen. Ich denke, you get the Idea.

Und so ist die Gleichung des Kreises Einheiten. So die Gleichung dieser ist x quadriert plus y kariert ist gleich 1; hat einen Radius von 1 Einheitskreis. Und was wir mit betroffen ist die Linie, die integraler über diese Kurve c. Es ist eine geschlossene Kurve c.

Es geht tats?chlich in diese Richtung 2y DX abzüglich 3 x dy. Also, sind wir wahrscheinlich versucht Green zu verwenden Theorem und warum nicht? Also lassen Sie uns versuchen. Also das ist unser Weg. Also Green’s Theorem uns, dass sagt das Integral der einige Kurve f Punkt dr über einige Pfad wo f gleich–lassen mich zu schreiben ist es ein wenig übersichtlicher Nit.

Wo f von X, y ist gleich dem p von x, y ich plus q von X, y j. Ist dieses Integral gleich das doppelte integral über die Region–w?re dies der Region in Frage in diesem Beispiel. ?ber die Region von den teilweise von q zu x abzüglich der teilweise von p in Bezug auf y. Aller, dass dA das Differential Gegend.

Und die Region ist natürlich, was ich gerade zeigte Sie. Nun, Sie k?nnen oder k?nnen nicht erinnern–nun, es ist ein leichte, feine Sache, die geben würde Sie die falsche Antwort. Im letzten Video haben wir gesagt, dass Green’s Theorem, wenn gilt Wir werden gegen den Uhrzeigersinn. Beachten Sie, auch auf dieses kleine Ding auf das Integral habe ich Sie gehen gegen den Uhrzeigersinn.

In unserem Beispiel geht die Kurve im Uhrzeigersinn. Die Region ist auf unserer rechten Seite. Green’s Theorem–gilt dies, wenn die Region zu unserer linken befindet.

Also in diesem Fall wird die Region um unser Recht und Wir sind gehen–also gegen den Uhrzeigersinn. Also in unserem Beispiel, wo wir im Uhrzeigersinn gehen, ist die region auf unserer rechten Seite, Greens Theorem wird die Dieser negative. Also in unserem Beispiel werden wir das Integral der c haben und Wir gehen im Uhrzeigersinn.

Vielleicht werde ich es wie die von Dr. f Punkt lenken. Dies wird um das doppelte Integral über der Region entsprechen. Sie konnte nur diese beiden–die teilweise p mit Respekt tauschen y abzüglich der teilweise von q zu x da.

Also lassen Sie uns tun. So wird dies gleich, in diesem Beispiel werden die Integral über der Region–gerade lassen es Zusammenfassung für jetzt. Wir k?nnte beginnen die Grenzen festlegen, aber lassen Sie uns nur halten der Region abstrakt.

Und was ist die teilweise p mit Respekt–erinnern wir uns an, Dieses Recht ist hier unsere–ich denke, wir k?nnten Recht erkennen jetzt, da? wir f Punkt dr werden wir dieses erhalten. Die dr tr?gt dieser Komponenten. Die f tr?gt diese beiden Komponenten.

Also ist p von x, y. Und dann ist q der x, y. Und wir haben es gesehen. Ich will nicht zu gehen in die ganze Dot-dr und nehmen den Punkt Produkt immer und immer wieder.

Ich denke, dass Sie sehen k?nnen, dass dies das Skalarprodukt von zwei Vektoren. Dies ist die X-Komponente von f, die y-Komponente von f. Dies ist die X-Komponente der dr, die y-Komponente von dr.

Also lassen Sie uns nehmen Sie die teilweise von p in Bezug auf y. Nehmen Sie die Ableitung von diesem Zusammenhang mit y, erhalten Sie 2. Ableitung von 2y ist nur 2.

So erhalten Sie 2, und dann minus die Ableitung von Q zu X. Ableitung dieser nach x ist minus 3. Also werden wir minus 3 und dann alle, dass da bekommen. Und das ist gleich dem Integral über die Region.

Was ist, ist es 2 Minus minus 3? Das ist das gleiche wie 2 plus 3. Es ist also das Integral über die Region von 5 dA. 5 ist nur eine Konstante, so dass wir es aus dem Integral herausholen kann. Das wird also ganz ein einfaches Problem erweisen.

Also wird das gleich 5 mal das doppelte integral über die Region R dA. Nun, was ist dieses Ding? Was ist dieses Ding hier? Es sieht sehr abstrakt, aber wir k?nnen dies beheben. Dies ist nur der Bereich der Region. Das ist, was das doppelte Integral darstellt.

Einfach summieren Sie alle der kleinen dA Das ist dA, die einer dA ist. Sie fassen die unendlichen Summen diese wenig dA über die Region. Ist nun, was diese Einheit Kreisfl?che? Hier brechen wir nur ein wenig der neunten Klasse–tats?chlich, sogar noch früher als die–Algebra oder mittleren Geometrie Sekundarstufe II. Bereich ist gleich Pi R Quadrat.

Was ist unser Radius? Einheitskreis, unser Radius ist also 1. L?nge ist 1. So ist die Gegend hier Pi. Also ist diese Sache hier, das ganze Ding nur gleich Pi.

Also die Antwort auf unsere Linie integraler nur 5 Pi, ist die ist ziemlich einfach. Ich meine, wir die Mühe der Einrichtung eines Double genommen haben k?nnte wo wir die Stammfunktion für nehmen Integral y ersten und y ist die negative Quadratwurzel von 1 gleich schreiben minus x ist quadrierten y gleich die positive Quadratwurzel. X geht von minus 1 zu 1. Aber das w?re super behaart und ein gro?er Schmerz.

Und wir müssen nur erkennen, Nein, dies ist nur der Bereich. Und das interessante ist, dass ich Sie l?sen Herausforderung das gleiche integraler ohne Green’s Theorem. Sie wissen, nach dem Generieren einer Parametrisierung für diese Kurve, gehen in diese Richtung, wobei die Derivate x t und y t. Multiplikation mit der entsprechenden Sache und dann unter der Stammfunktion–Weg haariger als was wir nur mit Taten Green’s Theorem 5 Pi zu erhalten.

Und denken Sie daran, den Grund, warum war es minus 5 Pi hier nicht ist, weil wir im Uhrzeigersinn gehen. Wenn wir entgegen dem Uhrzeigersinn gehend wurden wir k?nnte die gerade nach oben Green’s Theorem und wir angewendet haben abzüglich 5 Pi bekommen haben würde. Wie auch immer, hoffentlich finden Sie, die nützlich.

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