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Lassen Sie die Vektor-bewerteten Funktion R s und t ist gleich –Nun, X wird eine Funktion von s und t. Wir werden also nur schreiben es als x s und t Mal die X-Einheit Vektor, oder ich, plus y s und t Mal die Einheit Faktor y oder j, Plus x s und t Zeiten der Einheitsvektor Z k.

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Partial derivatives of vector-valued functions Multivariable Calculus

So gegeben, dass wir diese Funktion Vektor gesch?tzt, werfen definieren oder lassen Sie uns darüber nachdenken, was es bedeutet, nehmen die partielle Ableitung dieser Funktion Vektor gesch?tzt mit in Bezug auf die Parameter, s oder t. Ich denke, es ist ziemlich natürlich, zu nichts v?llig bizarr hier. Wir haben die partiellen Ableitungen der gesch?tzten nicht-Vektor-Funktionen getroffen. vor, variieren wo wir nur eine der Variablen.

Wir nehmen sie nur mit Bezug auf eine Variable. Sie halten die anderen eine Konstante. Wir gehen hier genau dasselbe zu tun.

Und wir haben regelm??ige Ableitungen der Vektor getroffen wichtigen Funktionen. Der Weg in die nur endete als die normale Ableitung von jeder der Bedingungen. Und wir werden sehen, es ist die gleiche Sache hier mit die partielle Ableitung. Also lassen Sie uns definieren die partielle Ableitung von R in Bezug auf s.

Und alles, was ich in Bezug auf s tun, k?nnen Sie einfach tauschen es mit t, und du wirst das gleiche genaue Ergebnis erhalten. Ich werde es gleich die Grenze als Delta definieren s n?hert sich 0 r s Plus Delta s. Finden nur die Grenze in Bezug auf eine Ver?nderung s Komma t. Wir halten t, Sie sich vorstellen k?nnen, für gegebene Konstante t, abzüglich r mit s und t.

Alles über Delta s. Nun, wenn Sie ein wenig Algebra hier, machen Sie buchst?blich, Sie wissen–R s Plus Delta s Komma t, das ist das gleiche x s Plus Delta s t ich, plus y s plus Delta s t j und Z. Alles, was abzüglich dieses Ding.

Wenn Sie ein wenig Algebra mit dem tun, und wenn Sie nicht glauben Sie mir, probieren Sie es aus. Dies wird gleich an der Grenze von Delta s nahenden 0– und ich werde es klein schreiben, weil es würde nehmen viel Speicherplatz–x s Plus Delta s Komma t abzüglich X s und t, denke ich, dass Sie wissen, wohin ich gehe. Das ist alles ein bisschen eint?nig, alles zu schreiben aus, aber nie tut weh.

S Mal oder geteilt durch Delta s mal ich– und ich werde es tun in verschiedenen Farben, so ist es weniger monotonen– plus y. Wo jeder–die begrenzte Delta s [? Ans?tze?] 0 gilt für jeden Begriff, den ich hier, heraus schreibe. y s Plus Delta s Komma t minus y s Komma t, alle das über Delta s mal j. Und dann endlich, plus z s Plus Delta s Komma t abzüglich z s und t, alles über Delta s mal der Einheitsvektor Z, k.

Und dies alles kommt aus dieser Definition. Wenn Sie buchst?blich nur s plus Delta s für s getroffen– Sie all dies zu bewerten, tun ein wenig Algebra–wirst du genau das gleiche zu bekommen. Und, hoffentlich, springt heraus an Sie als, gee, wir sind nur wobei die partielle Ableitung der einzelnen Funktionen in Bezug auf s.

Und diese Funktionen hier, gerade diese x s und t, dies ist ein nicht-Vektor wertvolle Funktion. Dieser y, dies ist auch ein nicht-Vektor bewerteten Funktion. Z ist auch eine wertvolle nicht-Vektor-Funktion. Wenn Sie sie alle zusammen, wird es ein Vektor gesch?tzt Funktion, da sind wir die erste multiplizierend ein Mal ein Vektor.

Das zweite Mal eine weitere Vektor. Der dritte ein weiteres Mal ein Vektor. Aber diese Funktionen unabh?ngig sind nicht-Vektor gesch?tzt.

Das ist also nur die Definition der regul?ren partielle Ableitungen. Wo nehmen wir den Grenzwert als Delta s Ans?tze 0 in jedem dieser F?lle. So ist dies genau das gleiche. Dies entspricht – das ist genau dasselbe wie die teilweise Ableitung von x in Bezug auf s Mal i sowie die teilweise Derivative y in Bezug auf s mal j sowie die teilweise Ableitung von z zu s Mal k.

Ich werde hier noch etwas tun, und das ist Pseudo mathy, aber es geht aus–der ganze Grund zu kommen, die ich selbst mache Dieses Video ist wird es geben uns einige gute Instrumente unserer Tool-Kit für die Videos, die ich zu tun Oberfl?che integrale. So werde ich eine Sache hier zu tun, das ist ein wenig pseudo Mathy, und das ist wirklich da Unterschiede sind Dinge, die sehr schwer zu rigoros zu definieren sind, aber ich denke Es gebe Ihnen die Intuition, was vor sich geht. Also das richtige Ding hier, werde ich sagen, dass dies auch gleich ist zu– und du wirst nicht zu sehen in jedem Lehrbuch der Mathematik, und harten Kern Mathematiker sind Art von kriechen wollen Wenn sie sehen mich dies zu tun. Aber ich mag zu tun, weil ich glaube, es werde Ihnen die Intuition auf was passiert, wenn wir nehmen unsere Oberfl?che integrale.

So werde ich zu sagen, dass diese ganze Sache hier, die Das ist gleich r s plus die Differenz der s–ein super kleine ?nderung in s–t minus r mit s und t, all das über die gleichen super Kleingeld in s. So hoffentlich Sie zumindest verstehen warum ich sehe Dinge dieser Art. Wann nehme ich die Grenze als Delta s Ans?tze 0, diese Delta s super-Duper-Duper klein erhalten wollen.

Und in meinem Kopf, das ist wie ich Differentiale vorstellen. Wenn jemand schreibt die Ableitung von y in Bezug auf X– und lassen Sie uns sagen, dass sie sagen, das ist 2– und wir haben getan ein wenig Mathematik mit Differentiale vor. Sie k?nnen sich vorstellen, multiplizieren beide Seiten von Dx, und Sie konnte dy 2dx entspricht.

Wir haben dies in der gesamten Kalkül. Die Weise, die ich mir vorstellen, es ist super kleine ?nderung in y–stufenlos kleine ?nderung in y–ist gleich 2 Mal–aber Sie k?nnen Stellen Sie sich eine ebenso kleine ?nderung in X. So ist es–gut, wenn Sie eine super kleine ?nderung in X, haben Ihre Ver?nderung in y wird noch extrem klein sein, aber es ist 2 Mal, die werden wollen.

Ich denke, das ist der beste Weg, um es anzuzeigen. Aber ich sehe im allgemeinen Differentiale als super kleine ?nderungen in einer Variablen. Also mit, dass aus dem Weg, und mir erkl?ren Sie, dass Viele Mathematiker würde kriechen, an was ich gerade schrieb, Ich hoffe, dies gibt Ihnen ein wenig–das ist nicht wie einige verrückte Sache, die ich tat.

Ich sage nur, Ach, Delta s als Delta Ans?tze 0, ich Art stellen Sie vor, wie ds. Und der ganze Grund habe ich, die ist, nehmen Sie diese Seite und die Seite, und multiplizieren Sie beide Seiten mal dies passiert differenzielle ds, was dann? Der linken Seite, erhalten Sie die teilweise r in Bezug auf s ist dies gleich mal ds. Ich werde tun, ds vielleicht Rosa. Mal ds–ist dies nur eine regelm??ige differenzielle, Super kleine ?nderung in s.

Dies ist eine Art eine partielle, in Bezug auf s. Das wird sich gleich–gut sein wenn Sie diese Seite multiplizieren die Gleichung Mal ds gehen dieser Kerl um zu verschwinden. Also geht es um r s, plus unsere super kleine ?nderung in t minus r s, s und t.

Nun lassen Sie mich einen wenig Platz um dieses setzen. Dies wird in der n?chsten Video für uns wertvoll sein. Wir wirklich darüber nachdenken, was das bedeutet und wie um dies auf eine Fl?che zu visualisieren.

Wie Sie sich vorstellen k?nnen, ist dies hier ein Vektor. Sie haben 2 Vektor bewerteten Funktionen, und Sie sind nehmen den Unterschied. Und wir werden es im n?chsten Video zu visualisieren.

Es wird wirklich helfen mit Oberfl?che integrale. Mit der gleichen genauen Logik k?nnen wir alles tun, was wir taten Hier kann mit s, wir es mit t, als auch zu tun. Damit wir die teilweise–definieren k?nnen, die ich ein wenig–ziehen werde, kann ich Definieren Sie die teilweise r mit Respekt–lassen Sie mich tun Sie es in ein verschiedene, ganz andere Farbe. Es ist Orange.

Die teilweise von r in Bezug auf t–die definition ist hier genau richtig. Die Grenze als Delta t Ans?tze 0 r s t plus delta t minus r mit s und t. In dieser Situation halten wir die s, k?nnen Sie Stellen Sie sich vor, im Dauereinsatz. Wir sind ihre ?nderung in t, finden alles über Delta t.

Und die gleiche Sache f?llt aus. Dies entspricht der teilweise von x in Bezug auf Ti plus y Zusammenhang mit Tj sowie z mit Bezug zu TK. Genau dasselbe, tauschen Sie einfach Art von der SS und der t Und durch die gleiche Logik, Sie h?tten das gleiche Ergebnis aber in Bezug auf t.

Wenn Sie diese Pseudo mathy Sache tun, die ich dann hier oben Sie erhalten würden, die teilweise von r zu t mal ein super kleine ?nderung in t. dt, unsere t-Differential, k?nnten Sie Stellen Sie sich vor, gleich R St Plus dt abzüglich r mit s und t ist. Also lasst uns Feld Diese beiden Jungs entfernt. Und im n?chsten Video werden wir tats?chlich Visualisieren Sie, was diese bedeuten.

Und manchmal, wenn Sie Art von ein paar wie dumm math wie diese sind Sie immer wie, okay, was ist Alles über? Denken Sie daran, alle ich tat ich sagte, was es bedeutet, nehmen die Ableitung davon nach s oder t? Mit ihm spielte ein wenig, ich habe dieses Ergebnis. Diese 2 gehen um sehr wertvoll für uns sein, ich denke, in Integrale Fl?che immer die Intuition für warum sehen Sie die Art aus, wie Sie.

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